Digitized by the Internet Archive

in 2011 with funding from

Boston Library Consortium IVIember Libraries

http://www.archive.org/details/mechanicasivemot02eule

rn

vs

ANALYTICE

EXPOSITA

AVCTORE

LEONHARDO EVLERO

ACADEMIAE liVLPER. SCIENTIARVM MEMBRO ET MATHESEOS SVBLIMIORIS PROFESSORE.

TOMVS 11.

INSTAR SVPPLEMENTI AD COMMENTAR^ ACAD, SCIENT. IMPER.

PETROPOLI

EX TYPOGRAPHIA ACADEMIAE SCIENTIARVM.

A. i73<^.

PRAEFATIO

Vemadmodum in Tomo prhno mofus lihefos corps^ rum a quibuscunque potentiis jollicitatorum exp,bfui , ita in hoc Tomo altero mctus non liberos pertra&a- ri C9'njlitui\ quae differentia in mo'us explicatione tanti efi viometUi^ vt ex ea nierito totius operis dluifto fit faBa. In 77iotu enim libero ma a corpore defcripta cum ex motu iam infito^ tum ex potentiis tam abfolutis quam refflentia^ quibiit corpus qfficitur^ determinatur ^ quia praeter potentias et refi" flentiam nibil adejfe ponitur ^ quod corporis motum determinet, Atque idcirco motus liberi haec efi primaria proprietas ^ n)t Hjia a corpore defcriptaomninononprematur \ canalis fciUcet fecun^ dum viam , quam corpus defcribere debet , exacte incuruatus , a corpore transeunte nullam omnino prefjionem fuftinebit , fed forpus per eum libere transibit. In motu autem non libera praeter potentias et reffientiam , quibus corpiis follicrtatur , viam praefcrlptam eJTe ponimus ^ ita n:t corpus fit coacium in hac via moueri. Haec ergo via praefcripta ad inftar ca- nalis connmde onfderari poteft^ in quo corpus mouctur^ ne^ que ex eo erumpere poteft. Cum igitur in ijliKsmcdi motibus data fit via i in qua corpus mouen debet^ inquirendum efi^

):( 2 quan-

)■■( O );( ^

fumfam corptis a quihuscmqiie potentns et rejtjlentia JoUk^^ tatim in fm^idis locis habiturum Jit celeritatem ^ quippe qm cognita totus motus perfedte cognofiitur,- Wraeterea' au^em cum corpus y nifi rn- hoc camili ejjet inclujumy almm Imeanv dejcriberet y. retinehit Jaltem m canali cvnatum in ea Imea ^ m. qua fi liherum ejjet^ moueretur y progrediendiyhoaque cona^- tu latera canalis premet y et nifi Jatis haheant firmifatis re~ ipja disrumpet., Hanc; oh rem praeter celeritatemy, quam corpus in Jingulis cmalis Tocis- bahebit y determinari dehet quo- que prejfio y quam iw latera' canalis exeret y eiusque prej/ionfs dire&iOy quo) firmitas Ikterum' canalisi ad' corpus retinendum wequifita' cognojcaturi 'Kuiusmodi' autem mofus non: liheri etiam fine cmali diis^ modis- produci pojjunfy id' quod' ohjeruare licet m pendidiSy afque in fwrdisy quibus- corpus ifidem' in dafa li^- nea moueri cogifur:- Fendulis enim'y prouf Hiigenfus dbcuify. efiici pofejfy vf corpus ih quacunque' curua praejcripfa moueri aogafur ,. quemadmodiim in pendidis fum fimplicifer fijpenfisy ■quihus corpus i?i Hnea circulari moueri cogitur apparef^ fum iis 1 qwae infra cvcloidef fiispendi foIeHfy quihus corpus incy-^ cloide moueri cogifury fimdique: modw effici potefi: vf corpus' im d:ata quaque' curua- mcedere: cdgafur:. Maec igiiur ejl prim^ Jpecies mofus non- ^eri ^ qui fif Juper dafa Rnea.. Vraeter eant aufe:n alia- Jpecies mofus- now liberT atfendi merefur\ in qua^ non ipja quidem- via..^ Jed fanfim' Jpiperficies prciefribitur ,.. itv qua corpiis mDmri cogitiir-^ minus. igjfur haec mofuum non li- beroram' fpecies efp refriSia quam priory cum in hac corpori mlhuc liberfas fif reli£ia fihi viam in data fuperficie fitam eli^-

^ndn^

gendi' H^«^ oh rem haec motas noft Uheri Jp^^^cies ita tra- Mari dehet-, vt primo linea in data Juperjicl^ deterrmetur ^ qUam corpus a patentiis et refijteiitia JoiMtaium dejcribet^ de- mde vera vt celeritas corporis in jlngulis hums lineae pundls dejiniatur'y tertio' denique vt etiam pre/JIo^ quam corpus in hperfietem exerc'ef\ inuejfigetur.- Huitismodi autem motus nm Mberi pariter ac priofes penduUs quoque' commode repraejenta" fi poffunf^. cdrpus' enim pendulum oMlque impulfunf ^ vf eiuf dire6ii(y non fif in plano' verficah^- liiieas curuas fvarii generis d^Jcribeff quac autem omries^ Junf in Juperficie Jphaericay cu-- ius cenfrum in ipjo' Jujpenfiomf pur&o^ extaf.- Inquifitio ideo huius mofus huc rediff ^f in Juperficie jphaerica primo' Unea quam' corpus proieBum dejiribeff defermirietur ^ deiMe vero cC^ hritasin fingulis lociSf ef tertio preJfiOf quam in Juperficiem exefef.' Sifnili moS^ etiam perjpicitur , efiici poj]e\f vf corpus fendulwn non a£ Juperfidem Jphaeficami Jed ad aliam quam-- que' rejlringafuf f dum fciUcef cifca puncfum Jujpenfionis Juper-- ficies euolufa disponatuf.- Haec igituf ejf aJtera motuimi non iiberorumjpeciesy quae in mofu Jupef data Jupefficie determi^- nando occupatur °:,^ afque in Bis duabus motuimi non Uberoruni Jpeciebus indagandis fotUs hic Tomiis JecUndus abjoluitur.- Quo ergo ad hanc fractationem' ^ quac Jcitu neceffaria Junf y prae^ farenfuf^in capifc primo Jundamenfa ef principia expoJm\ ex' quihus^ quae ad cognltionem vfriusquc Jpeciei motuum non H-- ksrorum psrtmnf , deriuari queanf,- 'Demonji^aui nimirum cor-' fiM' a nullis potentiis JoUicitafim' fam Juper data linea , quM-

Xj • Juper

fiper fuperficie motu aeqmbili moneri debere ; in Juperficie au tem fore dam a corpore defriptam ipfam Uneam breuijfimaffu quae in ea fupefficie diici poteft. Deinde inueftjgaui leges ge-^ nerales j qiias quaeque potentiae alque etiam refijientia tum in accekrando vel retardando motum tum in prejfione generanda obferuant. Ad haec etiam do&rina de vi <^entrifuga cxponitiir ^ quam corpora etiam a vuUis potentiis Jollicitata exercent , quaeque ex motu curuilineo , quo corpus in-' cedere cogitur^ ortum babet, In capitibus deinde fecundo et tertio motus corporufu fuper data Hnea tam in mcuo quam /» medio refiftente fufe contempJor et examino. Trimo nimirum motum determino , qm corpus a quibuscunque potentiis fol/icita- fum fuper data Jinea fme re&a ftue curua mouetur^ fiue de- fcendendo fiue afcendendo ; atque fi curua ita fuerit compara- ta vt tam ad dfcenfus quam afcenfas producendos fit idonea ofciUationes quoque definio , easque inter fe ratione temporum §omparo\ atque in Jwc negotio indoJem et proprietates ofciJla-» iionum tam in circuJo quam cycloide fa&arum definio, Dein* ceps probJemata traBo inuerfa^ quibus potijfimum pro datis potenttis foUicitantibus in cunuis inquiro , fuper quibus motus datam haheat proprietatem. 'Bjjc fciJicet pertinejit pro^ IfJemata de inueniendis curiiis aequalnJis defcenfus ^vel recejfus ti dato punuo^ et huiusmodi pJura ^ quae veJ ab aJiis iam pnt traLtata ^ njeJ ad quae ipfum nftitutum perduxit. Inter Jjaec prae ceterls eminenf: proUemata de Jineis bracJnftochro- fiis €t tautochronis, quorum vtrumque ad vJteriorem quam

ad'

i )■■( O ):(

^dJm' a quoquam eft fa&um^ perfeSiioms gradmn euexl Cir- ca curuas eniin hrachyflochronas errorem^ qui a nonnullis tam in ^oacm qiiam medio reftftente erat commijjus^ correxi, et lo- co principii Hugeniani in fe quidem veri Jed infiifficientis , aliud latijfime patens fuhftitui^ quo demonfiraui in qmcunque medio et potentiarum foUicitantium hjpothefi quacunque ^eam perpetuo cur- iiam ejje brachyftrochronam , fuper qua corpus tta moueatur^ ^vt tota prejfio duplo fit maior quam ms centrifuga. SimiU modo nouam atque genuinam curuas tautochronas inueniendi methodum trado , {quae enim ante funt inuentae tautochronae nulla omnino methodo fed potius diuma!ione funt erutae ) cuius ope non folum cycloidsm iam dudum fub tautochronae nomine celebrem inueni , fed praeter eam innumerabiks alias curuas quaefito fatisfacientes elicui\ inter quas adeo curuam algebrai^ cam ohferuaui ; praeterea tam ex aliis agnatis quae-- Jlionihus in ^acuo , quam ex integra huius negotii tra&atione pro medio reftftente , praeftantiam et vtilitatem huius methodi abunde intelligere licebit. Ceterum ^cti haec methodus infiar fpeciminis tam Analyfeos quam Mechanicae promotae efi cen-^ fenda^ ita quoque paffim in difficiJiorum quorundam problema^ tum folutionibus non contemnenda Analyfeos fuhfidia apparebunt , quibus etiam haec fcieMia non parwn promota ejje ^ndeatur.

In quarto denique capite motum fuper data fuperficie per-

Jequor -i qtiae do&rina , fvti a nemine adhuc efi taBa ita quo-

qm tra^atu efi diffidlUma , propter naturam et proprietates

^,

kS»

);( o ):( m

/?© >'V ^ /'V Qf

JoUdorum nondum JatU perjpedtas neque ad calculum reuoca- tas. Antequam igitur de hulus modi motu qukquam ftatui potueraty methodum exponere necejje erat., qua proprietates Juperfick- fum et llnearum in ils duclarum erui atque calculo Jubiici pcffcnt, Hoc itaque praeJUti ope aequationum tres quantitates variahiles continentium , quibus iam ante tum in Comment^ Tomo III. a.d Hneam breuijjimam Juper quauis Juperficie de^ terminam/am .^ tum in huius TraCJatus Tomo praecedeme ad motus Viberos non in eodem plano fa&os inueftigandos Jum vjus, His denique praeparat.s progredi li.iiit ad effecius potentiarum fn corpora Juper Juperficiebus mota definiendos , eo^ quibus modum elicui tam wm a corpore dejcrtptam quam reliqua motus Jymtonmta imieniendl, Qiium vero cakuhis quamdiu in generalilms mjamur , nimis fiat prolixus et tra- 6iatu dlfficilis '^ omiffa rejftentia omnia ad vaciwm et gra^ uitatem ordinariam reduxi-, atque praecipue motum pendulo^ rum oblique ojillantium Jum perjrutatus , cuius motus ano- malias et abjidum progrejfiones diligenter determinaui, Haec igitur Junt.f quae in qlo tomo Jecundo Jum complexus , qui-^ hus expedjtis operam dabo , vt , quam primum li^ uerit mo^ pts corporum fimtorum et primo quidein rigidorum , in ordi^ nm reducam atque pari methodo exponawy

CAPVT

CAPUT PRIMUM.

DE MOTU NON LIBERO IN GENERE.

DEFINITIO h

COrpus non libere moiien dicitur, quan- do externa obftacula impediunt, qno mi- nus iuxta eam diredionem progredia- tur, iuxta quam cum ratione motus in- fiti, tum ratione potentiarum foUicitantium mo-- aeii dcberet.

Scholion i*

a. In motu pundi libero , quem Parte pri- nia cxpofuimus fpatium, in quo corpus moueba- tur, ab omnibus obftaculis vacuum afTumfimuSj uunc vero fpatium ita comparatum ponemus, vc torpori non liceat in quaque diredione progrc- dij propter firmos parietes tranjQitum noa per- inittente&.

Tom.IL

Go

z CAFUT PRIMVM

CoroUarium i, j

3. Qaando itaque corpus in motu fuo ofe- daculum inuenit, ideoque eam diredionem, fecundum quam tendit, conferuare non potefl: ; tuiji vel quiefcere, vel in alia diredione motum continua- rc debebit. J*

CoroUarium 2.

4. In quanam autem diredione corpus prp- grediatur pofl; occurfum obftaculi , ex circumftan- tiis tum motus tum pofitionis obftaculi iudicari debet.

Scholion 2. "^ %

5. Videtur haec dodrina ad motum corpcP rum ex percufTione pertinere, qua de rc tamen hoc libro non agetur. Hoc vero libro alius ge- neris obftacula alTamimus , quac illam notitiam non requirunt. Sunt haec obftacula continua, quae motum pundi reftringunt neque vllam reflexionem admittunt ; cuiusmodi eft tubus vel canalis fiue redus fiYC incurvatus, in quo corpufculum motum continuare debet. Hoc cafu via penitus praefcribi- tur, in qua corpus progrcdietur , neqiie propter tubi firmitatem inde egredi poterit. Qiiare cum hic loco corporis pundum confideremus , hac pofitione pundum in data linea moueri debebitp neque ex ea excedere poterit,

Scholion 5.

6. Duas autem hoc libro pertradabimus mo- tus impediti feu reftridi fpecies, quarum primac

mo-^

DE 3I0TU NOK LIBERO IN GEOTRE. ^

inodo mentionem fecimus, quaeque compleditur inotus pundorum fuper data linea liue reda fiue curua. Altera fpecies minus reftringit motus li- bertatem, fuperficiem enim tantum praefcribit, in qua corpus perpetuo verfari debeat. Atque lias duas motus impediti fpecies ifto libro fumus ex- pofituri.

Corollarium 5.

7. Quae igitur in prima fpecie funt inqm- renda , funt corporis feu potius pundli celeritas in quouis lineae praefcriptae loco, preflio in hanc lineam, et tempus, quo pundum datam Tiae por- tionem percurrit.

Corollarium 4^

8. Circa motus alterius fpeciei autem praete^ liaec inueniri debet ipfa linea , quam corpus fupcr fuperficie data defcribit. Quarum rerum fontes hoc primo capite aperiemus.

Scholion 4^

5). Hoc vero capite primum inueftigabimus inotus Ytriusque fpeciei, fi corpus a nullis poten- tiis follicitetur; vbi oftendimus, qua celeritate id progredi debeat , et quanta vi vbique tam line- am datam, quam. fuperficiem datam premat. Sed fi fuperficies tantum data fuerit, praeterea viam de- terminabimus in qua corpus mouebitur a nullis po- tentiis foilicitatum. Deinde vero principia expo- nemus, ex quibus iudicjiri licebit, quae mutationes a potentiis follicitantibus tam abfolutis quam rela-

A 2 tiuis

4 CAPVT FRIMVM

tiuis oriantiir, quo in fequentibus capitibus fingula diftinde deducere queamus.

Scliolion >

10. In his autem motibus tam fuper lineis quam fuperficiebus datis , animum ab omni fridio- ne abflrahimus, neque vilam motus retardationcm ponemus. Quamobrem lineae et fuperficies, fuper quibus punda moueri ponuntur, laeviihmae concipi debentetomni afperitate dellitutae, ne motus re* tardationi propter eam fit obnoxius. Motum ro» tatorium quoque omnino ex animo profiigari o* portet, cum ex eo mutationes in motu oriantur^ quae demum in fequentibus explicari pofTunt. Haac* ob rem pundum quafi rependo moueri concipien- dum efl, vt eius pars quaeque, fi modo in pundo partes concipi poffunt, eundera liabeat motum.

Scliolion 6*

11. Quae igitur in praecedente libro traditae . funt, et in hoc de motu pundorum tradentur, ad corpora finitae magnitudinis quoque accommodari pofTunt, fi modo eorum motus fibi fit perpetuo pa- rallelus, et omnes partes corporis aequali motu fint praeditae. Hoc vero ex fequentibus libris clarius ap- parebit, quibus cafibus finitorum corporum motus a motu pundorum non difcrepet. Quocirca in his li- bris ideo punda tantum confideramus, quia u£ partibus deftituuntur, ita etiam in partibu^ diuer^ motus inefTc nequeunt.

DE MOTU NON LIBIRO IN GENERE. 5

PROPOSITIO I,

Theorema. --^

tn. Corpus feu pun&umy quoeffuper linea data mo* uetur , et a nullis potentiis follicitatur^ perpetuo ean- dem celeritatem conferuabit: Ji modo iHius lineae duo quaeque elementa contigiia nusquam finitae ma^nitudi^ nis angulum conjlituant,

Demonftratio.

Quia corpas, dum in linea A M mouetur 5 a Tsb, 1 nulla potentia follicitaturj neque fridioni vllus con- Kig. s, ceditur locus, motus corporis aliter variari nequit, nifi quatenus linea AM impedit, quo minus corpus libere moueri poffif, ex quo, quae celeritatis im- mutatio oriri debeat, inuelligandum eft. Sit celeri- tas, quam corpus in M habet znc^ hac igitur ce- leritate corpus, fi libere moueretur, in tangente M y progrederetur , quod vero , quia corpus cur- Tam A M deferere non potefl, fieri nequit; fed cor- pus cogitur per M/// progredi. Hanc ob caufamcon- cipiatur motus corporis fecundum M x, refolutus ia "^ motum per Winz et motum per Mn , exidente M mvn parallelogrammo redanguio. Perfpicuum hic efl: metum per M /2, cuius diredio eft normalis m curuae eiementum M;//, penitus abforberi, neque vl- ium eifeAum in ceieritate immutanda habere poffe. Corpus igitur altero motu progredietur in M //? , celeritate, quae eft ad priftinam celeritatem vc Mra adM)/; quare celeritas , qua corpus elemsntum M;;j defcribit, erit rz ^^It-^. Qiioniam vero, Mi////efttn- angulum ad m redangulum ideoque M/;/ <^ My, celeri-

A 3 tas

C CAPUT PRIMVM

tas hacc niinor erit quam prior c, atqiie ccleritatis de-

(Mv-Mm)c 411" 1

crcmentum erit zn^ — ^^ — -, Ad huuis valorem in- ueniendum fit M O radius ofculi curuae in M n: r et elementumM///~^j'j eritque, ob ang.Oz:: ang.?«My|

2

MO: Mm -zzMm: mvj ex quo prodit /« y =: ^^, at-

4 2 2

quQ Mu—y(ds--h^ ) —^'^ir -^ds)—ds H n, Ex hoc iam obtinebitur decrementum celc-

2 r *

ritatis, dum corpus curuae elementum ds percurrit

2

— r~^ , cuius integrale dabit decrementum celcrita-

2r'

tis, dum corpus finitam curuae A M portionem per*

2

currit. At expreflio ^7 aequiualet difFerentiali fe- cundi gradusj eius ergo integrale erit difFerentialepri- nii gradiis. Qiiamobrem decrementum celeritatis pofl- quam corpus quantumuis arcum curuae datae percur- rit, erit infinite paruum, atque corpus motu uniformi feretur per totam curuam AM, fi modo radius ofcu- li r nusquam fuerit infinite pariius. Q. E. D.

Corollarium i^

13. In omni igitur curua , in qua radius ofculi nusquam eft infinite paruus, corpus mouebitur Yuifor- mitcr , fiquidem a nuUis potentiis foliicitatur j nequc fridionem patitur.

Corollarium 2.

2

14. Si radius ofculi eft infinite pnruus, tum y^l vcl efl quantitas finita vei differentiale primi gracius.

lilo

m MOTU NON LIBERO IN GENERE. r

Illo cafu corpiis finitum celeritatis gradum amittet, hoc vero tantum infmite paiuum.

Corollarium 5^

15. Cum autem iftius modi punda in omni- bus curuis fint rara et a fe inuicem difiita , corpus tamen arcum inter duo talia pundla interceptum motu vniformi percurret.

Scholion i.

i6". Cafus, quibus corpus celeritatis finitum de- crementum fubito patitur , alii non effe poffunt, nifi vbi curua habet cuspidcs. His' enim in locis corpus diredl:e reverti cogitur, et normalitcr in pundum cuspidis impingit. Tunc igitur corpus non folum finitum celeritatis gradum amittet, fed omnina omnem motum amittere debebit ; nifi forte corpus ponatur elafl:icum, quo cafu eadem celeritate, qua incurrit, lefledetur, atque ita motum vniformem conferuabit. In cuspide enim duo elementa angU" lum infinite acutum conftituunt.

Scholion 2-

17. Praeter cuspides vero alia dari poflTunt in curuis punda , in quibus radius curvedinis eft infi- nite paruus; quia vero duo quaeque elementa con- tigua fere in diredum funt pofita, et angulus dein- ccps pofitus eft infinite paruus fieri non potefi, vt cx demonftratione apparet, vt corpus finitum cele- ritatis decrementum patiatur. Quamobrem cum i- ftiusmodi pundla fint rara, corpus nihilominus mo- tu aequabili mouebitur.

Co-

jf CA?VT PRIMUM

CoroUarium 4..,

iS. Si igitur corpiis motiim fucrit elafticurrij in <5uacunque curua femper motu aequabili feretur: at fi non fit elafticum. , cuspides tantum motum tuir* babunt, dum eum prorfus tollunt^ •*

Scholion 5^

Tabuu t. ^9' Vt^ haec clarius percipiantur, lint duo oit?

F^s. 2. uae elementa AB, BC , et anguli ABC quem eoii*

. ftituunt, deinceps pofitus CBD inlinite paruus, cuiu$

,finus fit dz pofito finu totozizi. Qiiia corpus poft'^

quamelementum AB defcripfit vi infita in BD progre-

di conatur celeritate priore, quae lit^j eius motus du*^

plexconcipiatur, alter indiredioneBCjalterindiredio»'

nead BC normali , qui in effcdum duci non poteft.

Demiflfo igitur ex D inBC perpendiculo DC,corpusaI^

tero motu per BC mouebitur celeritate, quae eft ad

priorem Tt BC ad BDj i. e. \t V {i—dz~ ) ad i.

Per BC idcirco habebit celeritatem ^ ^ Vii-dz^)

2 8

feu c—*-^ ; quare celeritatis decrementum erit ^^*, quod acquiualet differentiali fecundi gradus. Ex quo intclligitur , quamdiu in quaque curua angulus CBD fucrit infinite paruus , corpus motu aequabili cfCe progrelTurum. At in omni curua angulus vel efl in* fiQite paruus 5 Yel angulus ABC ipfe, quod in cu- fpidibus accidit. Confcquenter cufpides tantum mo- t-is vniformitatem percurbant, nifi corpus fuerit ela- flicum, quQ caru. niliiloioiiias luotus viiifoimitas ^bnferuatur.

FRO-

DE MOTU mn LISERO m GENBRE. 9

Theorema.

2d. Dum corpiis motu ^nijdrmi in curua AM fi.h\iU t fmu€tiir^*in fmguUs pwiBis M premet curvam nor- ^*®» *• maliter vi , quae efi ad corporis vim grauitatis , n>$ ciJtitiido eius celeritati dehita ad dimidium radium- ofcuU,

Demonftratio.

Si corpus in ciiriia AM libere moueri debe- ret motu aequabili •, tum Tbique vim adelTe opor- teret normalem corpiis fecundum MO trahentem tantam, quae fc habcret a.d corporis grauitatemi^ vt akitudo ccicritati corporis debita ad dimidium radium ofcuii MO, vt ex demonftratis lAhti prae- ced. apparet. Nifi enim taiis vis adefiet , cor- pus in iinea redla progredcretur, Hoc autem ca- fu canalis AM in quo corpus inciufum concipituri impedit, quo minus corpus in reda progrediatufa Quamobrem corpus tanta vi canalem normaliter premet, fecundum diredionem Mn. Si enim ta- lis vis normalis adefTet, corpus in canaii A M libe- re moueretur , neque iiium premeret -, liac vero Vi.abfente, vt liic ponimus , necefle eft vt corpus Ipfum canaiem tanta vi premat. Q. E. D.

Corollarium i.

£1. Si igitur ultitudo celeritati corporis dc- i)ita ponatiir v et radius ofcuii M O ~ r , atquc grauitas corporis zi: i , quam.,: fciiicet liaberet , ^i m fupcriicie tercac cflet pofitum \ erit vis , qua Tmih II» B cor-

10 CAPUT PRIMUM

corpus canalem in M fecundum M ?2 premct zr

i 1? ■ — ' — t

T

CoroUarium 2.

22 Si corpus maiore vel minore celeritate moueretur in curva AJjVI, tum preflio in M maior Tel minor efTet in duplicata celeritatis ratione , quia altitudo v quadrato celeritatis eft propor- tionalis.

Corollarlum 5.

23» Dire(ftio huius preffionis efl: normalis in curuam > et direde contraria eft pofitioni radii ©fculi MO.. Quare radius ofculi in alteram cur- iiae partem produdus dabit diredionem huius prefiioniSo

Corollarium 4.

24.' Si corpus in linea re(^a mouetur; haec preflio erit nulkj ob radium ofculi infinitum. Hoc quoque ex ipfa motus natura perfpicuum efl:. Corpus enim motum in reda vniformiter fponte progreditur^ et hanc ob rem canalem redlum Bon premitc

Corollarium 5.

2$. Si curua AMfuerit circulus, prefllo vbi- que erit eadem. Eo vero maior erir quo minor efl: radius circuli. Exifl.ente enim celeritate ea~ dem j preflio erit reciproce vt radius circuli.

Scholion I.

a<J. <^o corpus in curua AM libere momeri

DE M6tF NON LIBERO mGENERE.it

poffit vniformiter , necefle efi: vt fecundum nor- malem MO trahatur vi zn — . Ex quo intelligi licet , corpus tanta vi in plagam oppofitam niti , alioquin enim illa vi non eflet opus ad corpus in curua confervandum. Dum igitur corpus in canali AM moueri cogitur, neque eius nifus a vi norma- li tollitur, iiunc nifum re ipfa in canalem exerce- bit. Quamcbrem talis canaiis tantam firmitatem liabere debebit, vt iianc preflionem fullinere queat.

CorolJarium 6-

27. Apparet igitur corpus motum line vllo celeritatis difpendio effedum edere poiTej qui fci- licet confiftit in preffione definita.

Corollarium 7.

28. Ex motu ergo folo prefilo oriri potefl. Quamobrem uti ex prefiione feu a potentiis motus generatur , ita quoque ex motu preflio oriri pot- cll.

Scholion 2*

29. Intelligitur liinc, quod iam fupra innui- inus Libro primb , incertum eflej vtrum motus potentiis debeatur , an vero potentiae motuL Videmus enim in mundo vtrumque potentias nem- pe et motum exifl:ere ; vtrum igitur alterius fit caufa , quaeftio eft tum ex ratione tum ex obfer- vationibus decidenda. Rationi quidem minime confentaneum videtur corporibus conatus infitos tribucre , multo minus potentias per fe exiflentes ilatuere. Fraeterea vero is piiaenomenorum cau-

B 2 ^s

. I

ft CATVTPRIMVM

fas genuinas dediiTe cenfendus eft, qui omnia a mo- tu orta demonftrauerit. Motum enim iemei ex- iftentem perpetuo conferuari debere clare often- dimus fupra *, hic vero, quemadmodum ex motu potentiae oriantur expofuimus. Qiiemadmoduna vero potentiae fine motu vel exiflere vel confer- uari queant, concipi non poteft. Quamobrem concludimus omnes potentias , quae in mundo confpiciuntur , a motu provenirc ; atque diligenti fcrutatori incumbit inueftigare^xr^quonam, quo- nimque corporum motu quaelibet potentiainraun- do obferuata ortumfuum habeat.

Scholion 5*

30. Cum difHcile intelledlu fit, quomodo ta« lis cfFedus, presfio fcilicet continua, a corporemo- to, fine vllo celeritatis difpendio , oriatur, ope- rae pretium erit in huiiis rei caufam inquirere. Vi- dimus in praecedente propofitione motum corpo- ris in curua linea non abfolute aequabilem efle j fed celeritatem reuera decrementum pati , dum corpus per fingula elemenra ciiruae mouetnr. Haec vero decrementa difFerentialibus fecundi gradus ae~ quiualene, vt etiam infinicics repctita ceieritatem corporis innnite parum tantum minuere queant, Huic igitiir infinite parup -celeritatis decremento preflionem adfcribi debere iudico •, in haeque fen»- tentia eo magis confirmor , quod , quo maius fit hoc celeritatis decremeatum, eo maior qiioqu^ exiflat preffio. Cum preflio in M flt -?- , hac-

Ti totam elementum Mm^ dum percurritrfir

m MOTU NQN mERO IN CENERE. n

prematur, licebit huius preffioni^ efFedum in Mm ^a s exponere per; — p— . Supra vero decremen- lum celeritatis, dum corpus elementum M/;/ per-

2

currit; inuentumeft j^ (12). Quod autem ibi

crat c hic nobis eft V^, ergo cum eflet — d c z=z

1 ■ 2 2

e d s ^'. dv ds Vv r -i vds

—2 erit - 2v^ :== -^ feu ^ dv = -fi , Ha-

.aiiio'1 2 2 bebitur ergo - 4«?^^ i± %^-ji zz quadrato pref-

iionis quam fuftinet elementum Mzf/.

CoroUarium g.

31. Qiadratum preflionis ergo in Mm cxcr- citae aequiualet decremento ipfius 21;^. Atque ii hpc decrementum aequale fuerit ipfi ds^ ^ tum pref- fio aequalis eft vi grauitatis, ex quo comparatio harum preffionum cognofcitur.

Corollarium 9.

32. His ergo conceflisj iftud infinitiesinfini- te paruum celeritatis decrementum fuiHcit ad pref^ lionem fmitam producendam. Quamdiu enim i- pfiusi?^ decrementum homogeneum eft ipfi^i^, preflio eft finita , fin vero id decrementum infini- ties maius exifteret quam ds^ ^ preflio quoque fo- lU infinite magna.

DEFINITIO 2.

33. Preflio haec, quam corpus in linea curiia motum exercet in hanc lineam, vocatur vis cen- trifiiga ;eoquod eius diredio a centro circuli ofcula- toris 0 tendit» Co-

14. 4 CAPUT PRIMUM

Corollarium i^

34. Vis centrifuga ergo eft ad vim grauita- tls-f yt altitudo celeritati debita ad dimidium ra- dium ofculi.

CoroUarium 2.

35. Qiiando ergo corpus in linea curua mouC' ri cogiturj hanc curuam vi centrifuga premit , c- tiamfi a nulia potentia follicitetur.

Scholion.

35. Quando vero corpus a potentiis quoque follicitatur, prelTio quoque in canaiem ab iiis potcn- tiis orietur , tumque canalis duplici ratione prc- metur, partim nempe a potentiis partim a vi cen- trifuga. Nunc igitur quid potentiae in corpus noa iibcre motum valeant, inueftigandum eft.

PROPOSITIO 5.

Theorema.

^abuia I, 37- '^^ corpus y qiwd in canali AM mouetur ^

J^ig» 3' folUvitetur in M a potentia MN, cuius dire&io noj^ma'

lis eft in curuam A M, celeritas neque augebitur ne-

que minueiur: fed tota potentia in premendo canali

co7ifumetur*

Demonftratio.

Ex priore libro manifeftum eft: potentiam, cu- ius diredio in diredionem motus fit normalis, ce- ieritatem neque augerc neque minuere. Qinai- quam hoc enim ibi de motu libero eft demonftra- tum j hic tamen eodem rigore iocum habet, cum

po-

DEMOTF NON LIBERO IN GENERE. rs^

potentia normalis corpus neque in confequentia neque in antecedentia trahat. In motu libero ve- ro potcntia normalis dirc£tionem corporis immo- tatj quem efFedum hoc loco habere non poted. Hac igitur vi apprimetur corpus ad canalem , et confequenter tanta \i canalem premet in diredio- ne M N. Q: E. D.

CoroIIarium r.

38. Diredlio igitur talis vis normalis vel iuci- dit in diredionem vis centrifugae vel ei direde efl contraria. IUo cafu auget vim centrifugam hoc cafu minuit.

CoroIIarium 2-

39. Quia diredio vis centrifugae in convexam curuae partem incidit , eius eifedtus augebitur , fi normalis vis diredio in eandem plagam incidit : at ii normalis vis in concavam partem dirigitur minuetur efFedlus.

CoroIIarium 5.

40. Si vis normalis fuerit =: N^ et vis cen- trifugavt ante "^f'-, premetur curua vel vi ^ -}« N , fi hae vires fuerint confpirantes, vel vi i^ — ■ N fi fuerint contrariae.

Corolkrium 4*

41» Si vis normalis fuerit aequalis et cohtra- ria vi centrifiigae , curua nullam preflionem fufli- nebit '^ feu corpus ex ea egredi non conabitur, Hoc ergo cafu eandem curuam corpus libere defcriberet;

vijlus? ■ . id

i4 CMUT mMUM

id quod perfpicuum quoque eft ex vi normali, quac tum eft ^ : hac enim efiicitur, vt corpus aequabi- liter in quacunque curua libere moueatur.

PROPOSITIO 4.

Theorema.

Tabuu 1. 44. Si corpus quod in canali A M mouetur ^ in

Pis» h ^ foUicitetur a potentia , cuius direBio Jit fecundum

tangentein M T: buius effe&us in hoc confiftet , vt ce-

leritatem corporis vel augeat , vel diminuat , eodem

modo , quQ in motu libero,

Demonflratio.

Quia liulus potentiae diredio eft ipfa canalis tangens MT, canalis efFedum huius potentiae im- pedire non poteft ; nequc etiam in canalem haec potentia vllum efledum exerere poterit, Qiiam- obrem augebit haec potcntia vel diminuet , celc- ritatem corporis, prout eius diredio direc1:ioni corporis vei confpirans vel contraria fuerit, pror- fus ac fi corpus libere moueretur. Atque pofita altitudine celeritati in M debita ~ v •, elemento Mmzizds^ etviMT~T, eritdvzizTds, acce- krante potentia T: at retardante ea, erit dvzz.*^ T ds. Q. E. D.

CoroHarium i.

,43. In motu corporum igitur fupcr lineis da- tis vis normalis preffionem tantum generat in eaSj Tis tangentialis vero celeritatem tantum afHcit.

Corollarium 2.

44, Cum Tis reiiftentiae efiedum vis tangen-

tialis

DE MOW NON LIBmom GBNEKE. 17

tialis rctardantis praeftet, eodem quoque modo aget in motum corporum fuper datis lineis , ac in motum liberum. Si igitur praeter vim tangen- tialem accelerantem T alFuerit refiftentia R, pro- dibit ex ambabus comundiim dv znTds—R ds,

PROPOSITIO 5.

Problema.

4.5. Si corpus fuper linea data AM moueatur Tf^abuia i, in medio quociinque rejijlente ^ et ififuper jollicitetur a potentia ahfoluta , cuius direciio Jit MF\ determi- nare effe&um tam potentiae ahjolutae , quam rejijlen*' tiacj nec nonprejfionem , quam curua A Mfujlinet,.

Solutio.

Sit altitudo celeritati in M debitarrcr, vis refiftentiae zr R, et vis abfoluta M P ~ P : cuius diredio fit talis, Yt fumto elemento M ;;2 =3 ds fit perpendiculum mn ex m in M P demilTum zndx et Mn — dy zz. V{ds^—dx ^ ). Refoluatur poten- tia P in lias duas fecundum MN normalem in cur- uam et M T tangentem trahentes , erit ob trian- gula MPT et lAmn fimilia, vis normalis MN feu PTz::—, et vis tangentialis MT— ^-^ celerita- tem augens, Quia vero vis refiftentiae celerita- tem minuit, augebitur celeritas tantum ab excefTa ^ — R, lianc ob rem erit dvzizV dy — Kds {ji^2\ Normalis vis Vr vero efficit, vt curua in M tantundem prematur fecundum diredlionem MN, ad convexam curuae partem fitam. Quare cum vis centrifuga in eandem plagam vrgeat, quae eft z=. Tom.IL C ^

jt CAPVT PRIMUM

^ , defignante r radium ofculi in M; erit Yis to- talis , qua curua in M fecundum M N premitur zr ^jY -f- ^. Vnde tum motus corporis fuper cur- ua, tum curuae prelTio in fingulis pundis innote- fcit. Q. E- L

Corollarium i.

46^. Ex his duabus formulis igitur accelera- tionem et preflionem exprimentibus omnia dedu- ci poffunt , quae ad motum fuper lineis datis pertinent.

Scholion r-

47. Hic quidem vnicam potentiam abfolu- tam pofuimns *, nihilominus tamen fatis ex eo in- telligitur ,, quomodo plurium potentiarum effedus fit determinandus. Scilicet quemadmodum in mo- tu libero fecimus , ita etiam Iiic fingulae potentiae in; binas normalem nempe et tangentialem funt re- foluendae, ex quibus colligendis vna vis norma- lis vnaque tangentialis oritur: quarum efFedus per pTopofitiones 3> et 4. determinari poterunt^

Scholion 2*

48. Hadenus igitur fiind-amenta expofuimiiSy cx quibus in fequentibus motum corporum fuper lineis datis determinare licebit.. Antequam au- tem pro motu fuper fuperficiebus^ datis fimilia principia tradamus, expedit vt paucis oftenda* mus , quo modo motus fuper linea data in efFe- ^im deduci polTit.. Namque ope canalis, in quO' co^pus contineatur;; talis> motus. minime produci

jpot©^

DE MOTU KOK LIBERO IN GENERE. i^

poterit, propter friAionem aliaque obftacula, quac toUi neutiqiiam pofTunr. Commodillime autem liuiusmodi motus non liberi efficiuntur penduio- rum ope, vti primum a Hugenio fadum eft *, quimobrem hanc pendularum ad inftitutum no- ilrum accommodationem fequenti propofitione ex* plicabimus.

PROPOSITIO 6.

Problema.

49. Ope penduli ejficere vt corpus in data U- ^f^» 'V nea moueatur, ''^*'*

Conflruftio,

Sit A M B curua propofita in qua corpus moucri debeat ; huius curuae conftruatur euoluta ,AOC, laminaque fecundum eius figuram incurue- rur et firmetur. Tum filum huic laminae circum- ducatur, quod altero termino ad lam.inam fit affi- xum , altero vero termino in A annexum ha- beat corpus mouendum. Quando igitur corpus moueri incipit , perfpicuum eft id in curua AMB moueri debere, quia filum dum a lamina fepara- tur hanc curuam euokitione defcribit. Q^E. Fac.

Corollarium i^

50. Hac igitur ratione corpus in data cur- na progreditur, atque fridionibus non eft obno- xium. Qiiare tali motu commodiffime per ex- perimcnta cffici poterunt, quae in theoria inue- liiuntur,

Ci Co-

20 CAPUT primvm

CoroUarium 2.

51. Ex dodrina de euolutionibus intelligitur fili partem MO a kmina feparatam, in curuam AMB Qf[Q normalem ipfumque eius radium ofculi.

Corollarium 5.

Tabuia I, 5 2. Qiio corpus in peripheria circuli AMB

Fig.iJ, moueatur , iamina incuruata non eft opus , fed filum altero termino C tantummodo in centro C periplieriae efl figendum.

Corollarium 4^

p. 53. Qiiia filum MO efl: radius ofculi, yis

centrifuga tota ad tendendum hoc filum impen- detur. Quare hoc iilum tum fitis roboris Iiabere, tum extenfioni obnoxium non efle debet. Nifi enim eandem perpetuo longitudinem conferueti curuam defideratam non defcribet.

Corollarium 5^

54.. Accedente potentia abfoluta, habebitur praeter vim centrifugam vis normalis, quae fiium quoque tendet , li vi centrifugae fuerit confpi- rans. At fi contraria fuerit minuet tenfionem fi- li , imo etiam fi maior fuerit, comprimet, qua cafu euolutio nuliius erit vfus. Nam cum filum debeat efTe fiexile , comprefTioni reftftere non poterit , neque ideo impedire, quo minus cor- pus a curua A M B verfus euolutam recedat,

Scholion i.

55'. Praeter hanc difficultatem , ida curna- rum per euolutiones generatio hoc quoque la-

borat

m MOTU NON LIBERO IN GENERRzi

borat defedu , quod linea reda produci nequeat^ ad eam enim generandam filum reqaireretur in- ^finite longum. Simili modo haec euolutio ad curuas accommodari non poteft, quae alicubi ra- dium ofculi habent infinite magnum. Deinde e- tiam neque cuspide neque flexu contrario praedi- tae curuae hoc modo defcribi poffunt. Qiiam- obrem ita praxis locum tantum habet in curuis vbique finitam curuaturam habentibus , ad quod ;iddi debet , vt preflio curuae totalis nusquam in curuae concauam partem dirigatur.

Scholion 2.

56". HugeniuS, qui primus euolutionis do- dlrinam excoluit , ftatim eam ad hunc ipfum v- fum adhibuit*, vti ex eius egregio opere de ho- rologio ofcillatorio apparet. Cum enim inue- niffet ofcillationes fuper cycloide omnes elfe ifo- chronas , motum fuper cycloide in horologia inferre volebat , quod per pendulum intra cy- cloides ofcillans effecit. Cum enim cycloidis e- uoluta fit cyclois, hac ratione obtinuit , vt cor- pus filo annexum in cycloide moueretur.

Scholion 5^

-57. In hoc autem pendulorum motu maxi- me notari conuenit , praeter corpus motum fi- him quoque moueri debere , id quod ad infEitu- tum huius libri, in quo de motu pundli tantum agetur, minime pertinet. Praeterea motus cor- poris pendulo annexi non efi: fibi parallelus, £ed circularis circa centrum fcihcet circuli curuam a- lculantis , qui motus pariter hoc loco non attin-

C 3 gitur.

¥€

CAPUT PRIMUM

gitur. Hoc igitur libro motum pundi duntasfat fuper linea vel fuperficie data examini fubiiciQ'- mus , mentemque tam a motu fili, quam a mo- tu circulari abftrahemus. In fequentibus autem motum penduloium , \bi et motus fili et motu» circularis in computum ducetur, ad motum pun- dli tantum reducemus , ita vt haec , quae hoc libro tradabuntur, nihilominus in praxi vfum fmt habitura. Quamobrem, vt iam monuimus, pun- dlum motu fibi femper parallelo fuper curua feu fuperficie fine vUa fridione ferri efl concipien- dum.

PROPOSITIO 7-

Theorema.

;Tabii!aii. 58. Si coTpus a fiiiUis potentHs folUcitatum mO'

*^^' ^* iieatur in vacuo feu medio non refijlente fuper fuper- jicie quacunque ABC : motu feretur imiformi ani^ mum ab omni fri&ione ahftrahendo,

Demonftratio.

Cum corpus fuper linea data motum im- preffum continuare queat, multo magis fuper fu- perficie data moueri poterit , eo quod eius ii- bertas minus efl reflrida. Sit igitur T>Mm li" nea , in qua corpus progreditur*, haec erit vel reda vel curua. Si ifla linea fuerit recfla dubium non efl, quin corpus motu aequabili fit progref- furum. Sin autem fuerit curua, quae aequatione cxprimi potefl , duo quaeque eius elementa con- tlgua vel proxime in diredum erunt iita , vel

aa-

C

DE MOTV mn LIBERO IN GE]\r£RE.2s:

angulum infiiiite acutum conftituent", quod in cu- fpidibus accidit. lilo cafu fupra demonftratum eft corpus nullum motus decremeiitum pati(i2), In cufpidibus vero corpus quidem omnem mo- tum amittet , nifi fuerit ekfticum. Quamobrem li motus tantum fiat in curua vel parte curuae cufpidibus carente motus corporis erit aequabi- lis. Q. E. D.

CoroIIarium r.

$^. Patietur quidem corpus celeritatis de- crementum, quoties diredionem mutare cogitury hoc vero differentiali fecundi gradus aequiualet f ideoque , etiamfi integretur , decrementum ta- men infinite paruum producit.

Corollarium 2-

60 Si fcilicet corporis celeritas fuerit c ct radius ofculi MOz=:r, erit decrementum cele- ritatis, dum corpus elementum ds percurrit n^

Scholion..

61. Demonftratio liuius propofitionis pror- fiis congruit cum demoEtftratione primae propo- fitionis, neque aliud eft difcrimen,. nifi quod corpus illo cafu m data linea moueri cogatur, hoc vero cafu fuper fuperficie data viae quae- rendae habear libertatem. Quamobrem omne» annotationes, quae circa primam propofitionemi §int fadae liic quoq.ue; valent. Vldebimu& ergo^j,

24 CAPUT PRIMUM

quamiiam viam, corpus in fuperficie quacunque motum percurrere debeat.

PROPOSITIO 8.

Theorema.

Tabuiair, <5"2. Via DMm, quam corpiis fiiper fupet^ficic

F^s» -t» quacunqiie ABC motum defcribit ^ ejl linea hreuijji'

ma^ quae inter terminos D et M duci poteji^ fi

fcilicet corpus in vaciio moueatur^ et a nullis poicn-

tiis foUicitetur.

Demonftratio.

Defcripferit corpus iam curuam DM; mani- feflum eft corpus ex iM in tangente Mw elfe progreffurum, nifi in fuperficiet perfeuerare coge- retur. Quia igitur motus perM;2fieri non pot- efl, refoluatur is in duos laterales, quorum alter in ipfi fuperficie fit difpofitus, alterius vero di- redio in fuperficiem fit perpedicularis, atque i- deo penitus non in effedlum deduci pofiit. Hanc ob r-em ex ?i in luperficiem demittatur perpen- diculum w;f/, erit reda M ;// elementum, in quo corpus ex M progredietur. Planum ergo nMm^ in quo pofita funt et elementum ;//M, et id quod a corpore immediate ante eft defcriptum , erit normale in fuperficiem. At linea breuiflima m quauis fuperficie dudla hanc habet proprietatem, Tt planum, in quo pofita funt duo quaeque ele- menta contigua , fit in fuperficiem normale. Qiiamobrem linea DM///, quae a corpore defcri- bitur, efilinea breuifiimain fupsrficieABC Q.E.D.

Co-

DE MOTF NON LIBERO mGENERE. 25 Coroliariiim i^

63. Si ergo ex piindo A, in quo motus in- cipit, linea breuiliima in iiiperficie ABC fecun- dum diredionem motus ducatur , habebitur via ^. qua corpus motu vniformi mouebitur.

Corollarium 2.

6^. Qiiia filum tenfum in fuperficie lineam breuiflimam defignat , oftendet filum tenfum fi- mul viam , in qua corpus fuper ea fuperfici© mouetur.

Corollariiim 5.

6^. Si igitur fuperficies propofita fiierit pla- na j corpus lineam redlam delcribet , quia haec in plano eft linea breuifiima. Atque in fuperfi- cie fphaerica corpus in circulo maximo moue- bitur.

Corollarium 4.

66. Quia planum , in quo pofita funt duo curuae D M;;^ elementa contigua , normale eft in fuperficiem , radius ofculi curuae vero in eodem plano fit pofitus et in curuam normalis; erit ra- dius ofculi curuae defcriptae MO normalis in fu- perficiem.

Scholion,

(^7- Quemadmodum in quauis fuperficie linea

breuiflima fit inuenienda a me primum oftenfum

eft in Tomo III. Comment. Acad. Imp. Petrop.

Cum autem ibi ex alio principio lineam breuiffi-

Tom, IL D mam

fr

Tabula Ih Fig. 2»

2.6 CAPUT PRIMUM

mam determinaiierim, atque haec materia elemen- tis nondum fit inferta , fequenti propofitioae li- neam hanc breuiffimam feu eam , quae a corpo- re defcribitur , determinare conflitui.

9-

Problema

6S, In fiiperficie quacmque determinare Vineamj quam corpus anuUis potentiis folUcitatiimy quod fuper ea mouetur , defcribit,

Solutio.

Ad naturam fuperficiei propofitae exprimen- dam fumatur pro arbitrio planum A P Q^ fixum in eoque re(fla AP pro axe. Tum ex quouis fuper- "ficiei pundo M demittatur in hoc planum per- pendiculum MQ^> et ex Q^ in axem AP perpendi- cularis Q^P. Pofitis nunc AV ziz x ^V Q^— y ^ et Q^M:zi;s? natura fuperficiei dabitur per aequatio- nem inter has tres variabiles x ^ y Qt z et conflan- tes. . Sit huius aequationis difFerentialis dzznVdx -\- Qdj y ex qua linea breuiffima in hac fuperficie feu linea , quam corpus defcribit , determinari de- bet. Haec linea yero ex hoc determinatur, quod eius.radius ofcuii in ipfam fuperficiei normalem in- cidat. Quamobrem primo normalem fuperficiei, et deiride cuiusque in ea ducClae curuae radium o- fculi determinabimus •, quo pofl:iTiodum ex coirici- dentia harum linearum naturaiineae quaeiitae poP lit concludi»

Ad

DEMOTr NON LIBERO IN GEmRE. ^7

Ad normalem in (uperficiem iniieniendam fe- cetur primo ruperficies plano M Q_B, exiftentc BQ^ reda in plano APQ_ paraiiehi axi AP, prodeat- - que ex hac fed:ione curua BM.) cuius natura ex- primetur hac aequatione Js zzi Fdx, quae ex lo'- cali pro fuperficie dz ~ Fdx -+- Qdj oritur, po- iita / conftante feu djzn 0. Ducatur ad hanc cur- uam BM normaiis ME redae BQ^produdlae In E occurrens, erit fubnorm.alis Q_E=z;-^ iz: P2;. Du- <jla nunc EN perpendiculari ad BE , quaevis re- da MN a M ad NE ducla normalis erit in cur- uam BM. Simili modo fuperficies fecetur plano PQ_M prodeatque fedio CM, cuius natura expri- metur aequatione inter z et y manente x conftan- te, quae erit dz ~ (^dy. Sit MF normalis in hanc curuam erit liibnormalis Q_F rz:"^^f^zz — Q^j^;, figno negatiuo vtor , quia fubnormalem Q_F yerfus P ca- dere pono. Duda nunc reda FN parallela axi AP, quaeuis reda ex M ad FN duda normalis e- rit in curuam C M. Reda M N ergo , quae in pundlum interfedionis N redarum FN et EN ca- dit , perpendicularis in vtramque' curuam BM et CM, et hanc ob rem p^rpendicularis efit in fu- perficiem. Locus ergo normalis inuenitur fumen- do AHzzx -f- P2 , et HN — - Q^z-y.

Ad determinandam vero radii ofculi cuiusuis '^^?5^'^' curuae in fuperficie data dudae pofitionem fmt duo curuae elementa Mfn et miky quibus refpon- deant in plano APQ_elementa Q_q j q^^ atque in axe AP alTumto elementaPp, pn^ quae fint aequa-

D 2 lia.

FJg, 3*

i!t • CAPVTFKIMVM

Ik. Erit ergo Vp-zzpniizdx \ pq-=i y -^ ^J',P^ — j -H 2 ^)' -4- dcly \ Qj -zz V ( i.r » -f- dy « ) ; qg

^y(^dx* + dy»)^^JJ^^^S, qmzzzz^dz', ^^ -i:s;+' idz-^ddz^lAm-zz 'V {dx^-^dy^-^-dz-^^^o.t

-.//j .j .j \. ^y ^ d 7-+- dzd dz

Producantur Q^^ ct Mm \trinque, quarum illa ipfi TT^in r, haec vero ipfi. r;? normali in planum A FQ^in n occurrat-, eritque oh Vp zn.pny qrzz.Qji et m nz^ M m , atque tt rzny -f- 2.dy y ac r w — z -\- fidz lam ad elementum Mm ducatur in plano Qjn normalis 7n S occurrens ipil Qjj produd^e in

S, ent \iP-^—Q^i — yiidx^^d^^)' \J\xdi'3. lam

SR in plano APQ^ perpendiculari ad Q^S? omnes red:ae ex /« ad SR dudae normales erunt ad ele- inentum M m, In his igitur normalibus erit ra~ dius ofculi curuae M///jjl. Ea vero harum norma- lium congruet cum radio ofculi , quae in eo fltii C" rit plano , in quo poiita funt elementa M/// ctm\k. Quamobrem hoc pianum determinari oportet. In hoG Yero plano funt eleinenta /;//z et n\L^ ambo i- taque usque ad planum APQ_' produda dabunt in-^ terfe^flionem illius piani cum plaiio A PQ. At ' nm vel 77iM occurrit plano APQ^inT, vbi cum ele- mento Q^^ produdo concurrit, Eft igitur Q_Tzr.

•2 2

y,^ d2>"*" ^ ' Ip^^ ^^P- parallela M V in plano mn[L erit fita , haec vero MV in plaMum APQ^incidet in V, dabiturque Q^V ex analogia hac (r/2 - p|A.):

DE MOTU NONLIBERO IN GENERE. 29

r^—QM: Q_V; eri-t itaque Q^V =z |^. Hnnc ob rem recfla TV produdla eric interfedio plani 7im\L cum piano APQ_', quare recfta ME, quae in concurlum redarum SR <3c TV efl duda, erit fi- inul normalis in Mm et pofita in plano nm\K\ c- ritque propterea MR pofitio radii ofculi curuae in M. Ex his pundum R lioc modo determina- bitur ; erit , dudla RX perpendiculari in APpro-

-, . >. \ \7 ^- zdxi dy d dy-\-dz ddz)

duetam, A K —.j-i^^-rz^i^^jTjjj^jyj^^ -H x atque

Xp zdx d dy-i-zdz {dzd dy — d y ddz) ^ • •

^ — ldx^-i-'dy^)ddz-dydzddy ^ 3' ' SC^^ ^^^" Tabala 11,

tur normalis m fuperficiem MN in radii ofcuii cur '^'^' ^ iiae diredionem incidat, debet effe AHzii AX et XRznHN', ynde txit Y {dx'^-\- dy- ) ddz -? d j dzddj zn dxdyddy-i-dx dz ddz et— Q_( dx - -f- dy^)ddz -{- Qdy dzddy — d x ^ ddy -{-dz'^ ddy — «'^^r^^^f/s.Qii^quidemaequationesinter fe congruuntj fiet enim ex iis coniundim V d x ~{- Qjly zn d z ^ quae efl: ipfa aequatio naturam fuperiiciei expo- rens. Harum igitur aequationum alterotra cum hac dzzz Vdx -\- Qjfy cooiunda dabit curunm a "Corpore in propofita fuperiicie percurfam. Q.E.L

Corollariani i,

95. Erit igitur pro iinea in fuperficie propO'- fita defcripta ddz: ddynzVdy dz-{- dx dy : Vdx^ ^?dy- — dxdz. At quia efl Jjs = P^.r -4- Q^dy erit dd z : ddy zz: Vdz -{- dx : Vdy — Qjlx , (qm Vdyddz — Qdxddzzzi ?dz ddy H- dxddy.

D 3 Go-

30 CAFUT PRIMUM

CoroUarium 2.

70. Si aflumatur altera aequatio et vtrinque fubtrahatur QJz^ ddz -dj^ ddy habebitur- Q_{dx'^ ^ dj^ -\-dz^ ) ddz H- Q^djdzddj + dj^ ddj zn {dx^ -\-dj'^ + dz'^) ddj - Qdz - ddz -

dzdjddz, Vnde habetur ^ryi^^ ^

d^%^'H-"T^- Q-"^^ ^^ i^l^ ^P^^ aequatio , quam pro linea breuiflima in quacunque fuperficie dedi in Comm. Acad. Petr. Tom.IIL

Scholion i.

71. Vt in hoc cafu quo corpus a nulla po- tentia foUicitatur , diredio radii ofculi cum nor- mali in fuperficiem congruere debet , ita in aliis cafibus, quando corpus follicitatur a potentiis, hae

Tabula III,,. , ' / n-^ j u ^ r^

Pig^ i^ lineae datum angulum conltituere debent. Quam- obrem ad hunc angulum generaliter inucniendum iit MN normalis in fuperficiem , et MR diredio radii ofculi*, erit, Yt iam vel pofuimus vel inue- nimus, PQ^ =j , QMznz', PH = ^N = P 5; ;

nl, n^. PV R "v — zdjc ( dyddy -j- d zd dz)

K^/J — - \IZ , r A — I\ X — (d«^-f-dj2) ddz— dydzddjy

^ zdx ddy -h- "zdz ( dzddy — dyddz ) y\ -.A

et Q_X [dx^^.^dy'') ddz — dydzddy • l^UCta

NR ex Nin MR demittatur perpendiculum NO, crit M0=: — ^MK — MR et

j.r r\ Vl( M R^MN*— (Mg^^- R y. N^-4-aa:. a^)^)

V (Ma.*

DE MOTU NON LIBERO IN GENERE. 31

MR

Anguli vero RMN tangens eft = ^ pofito fi-

nu toto zz I. Subftitutis autem fupra airumtis fymbolis et in fubfidium vocata aequatione dz — Tdx-{-Qj^y prodibit tangens anguli N M R zz

{ddx - Q^ddy) V (ci;cM=^M=^")' "^^ ^^S^ angulo eua- nefcente fit ddz: ddjzziVdz-^-dx '. Vdj^Qdx uc fupra (6^9).

Scholion 2-

72. Ipfa vero radii ofculi lona^itudo MO inuenitur ex angul w;;;fx ope nuius analogiae vt Fig» 3, finus anguli nmiL ad fmum totum ita M?n ad M O. Efl vero niL zn: V{ ddy -|- ddz^) et mn^

dy ddy • — dzddz a- i

miL=: v:^:^iV-=M^) ' ^^S^ perpendiculum ex

;z m 7n}j, productum zz ^/{dx^-^dy^'^dz^)

s^^_ddz--2dydzddyd_dz}_^ Quarc hoc perpendiculum eft adVlidx^-^-dj^^-^dz-) ut i/'(^.r ^-j-^j^-f-^js^^ ad M O , vnde prodit radius ofculi M O zi:

V ( djc^ {ddy^-i-ddz^) -f- (d> ddz—dzddy) ^ )

dio ofculi opus erit in fequente propofitione ^ in qua preflionem, quam corpus in fuperficiem exercet , inueftigabimus.

Scho-

3 2 CAPVT PRIMUM

Scholion 5.

^3. Ex hac generali ra.dii ofculi expreflionc orietur ea pro nidio ofculi lineae breuiflimae, fi

1 • jj ddy {Fdz-i-dx) ^

conjungatur cum hac aequatione dazziz ^ciy^Qjix" ^^ loc'ili{IzzizVdX'~\-Qdj'. Prodibitautem radius oiculi —

{dx %- dy_^dz^) {?dy — Qdx) {dx -^dy^ ^dz ) V\P -4-cl"-hO .

rfxdi;)/ V( P^-+-'^" -+- 1 ) ddz — Q,ddy "^ •

'^Sr^il^"--^—'- Atque haec expreffio dat radium ofculi curuae in luperficie propofita defcriptae a corpore a nullis potentiis follici-' tato.

PROPOSITIO 10.

Theorema.

T&buia n« »7^. Vrejfio , qiiam corpus in fupef^ficie motum

et a nulUs potentns foUicitatim in ipfam fuperficiem exercet , fit normaliter in eam verfus eius cowuexita- temt et fe hahet ad fvim grauitatis , "vt altitudo ce- leritati corporis debitay ad dimidium radii ofcuU cur* vae a corpore defcriptae,

Demonltratio.

Sit D M in curua in fuperficie ABC a cor- pore defcriptaj altitudo celeritati corporis debi- t^zizdv, et radius ofculi curuae MOnr. Quia corpus ex M , fi libere moueri polfetj progre- deretur in elemento M^^; fuperficies vero effi- clt, vt per elementum Mm incedat , exiflente nm perpendiculo in fuperficiem j fuperficies a cor-

pore

'Ig. Xi

DE MOTU NON LIBERO IN GENERE, 3:$:

pore fecimdum diredionem nm prcmetur, tanta vi, quanta opiis cil ad corpus ex diredione Mn in diredionem M m pertrahendum. Hoc vero praeftatur a vi ^ normaiiter in fuperficiem fea fecundum diredionem radii ofculi MO agente» Quamobrem preffio corporis ia fuperficiem erit normaiis, quippe agens fecundum 7nn et aequalis I?, exiftente vi grauitatis corporis zz: i. Q.E.D.

Corollarium l

75. Haec eft igitur vis centrifuga , quam corpus in fuperficiem fimiii modo exercet, quo in lineam datam, in qua moueri cogitur.

Scholion !•

j6. PrefTio m fuper£ciem nccefTario debet ciTe normaiis. Nam oifi eflet normalis refolvi polTet in duas , quarum aitera eflet normalis i altera in ipfa fuperficie polita. Harum vero nor- maiis tantum ad premendam fuperficiem impen- diturj dum altera ipfiim corporis motum immu- taret.

Corollarium 2«

77. Longitudinem radii ofculi r lineae 9 quam corpus a nuiiis potentiis foliicitatum fuper propofita fuperficie defcribit,inuenimus(73). Eaigi-

tur afTumta erit vis centrifugal i|^-^^p,— ^^^

^ 2ju (AP^^:4- dQ_dy)

Tom. II, E Scho-

34 CAPUTPRIMVM

Scholion 2«

78. De hac vi centrifuga in fupcrficiem cx- crcita eadem locum habent , quae fupra de vi centrifuga ia datam curuam funt annotata , vid. Prop. 2. cum annexis CoroU. et Schol. Linea enim breuiflima , quam corpus fuper fuperficie percurrit, inftar canalis confiderari potefl: , in quo corpus moueatur -, atque tum de motu iti hoc canali omnia valenr, quae fupra de motu fu- per data linea, nuUis agentibus potentiis , funt

PROPOSITIO ir.

79. Determinare effe&im cuiusuis potentiae ^ {juem exerit in corpus fuper data fuperjicie motum tam in vacuo quam in medio refijlente.

Solutio.

Quaecunque fit diredio potentiae foilicitantis corpus, ea refolvi potefi: in tres potentias laterales, quarum primae, quam vocabimus M, dired^io nor- malis in fuperficiem: fecundae, quam perN defigna- bimus diredio normaiis lam in diredionem motus corporis quam in diredionem potentiae M, cuius igitur diredio erit in plano tangente fuperficiem , Tertiae potentiae T appeltatae directio congruat cum diredione motus , quae igitur erit vis tan- gentialis : ' priores vero efant vires noxmales» Qaia nunc harum trium virium diredioiies funt iuter fe normales ^ nuiiius eiiedus a reliquis per-

turb»tii

DE MOTumn LiBERO in GEmRE. 3$

tnrbflri poterit. Qiiare qiiem cfFexflum quaeque producat , inuedigabunus.

Prima potentia Pd, cuius direAio iri fuperfi-' ciem e(l normalis , nullum liabebit efFedum ia immutando corporis motu ; fed tota impende- tur in preifionem fuperficiei. Augebit igitur vel diminuet prefTionem a vi centrifuga ortam, pro- vt eius diredio ia piagam conuexne partis fu- perficiei incidit j vel in plagam partis concavac. Incidat ea in partem interiorem erit totalis pref- fio in fuperficiem verfus partes exteriores iz: *:^2vu?dx~^jQdy) — 2Vi (77). FreiTio enim

a vi centrifuga orta minuctur Iioc cafu poteii-

tia M.

Secunda potentla Nj quia eius diredio in ipfa fuperficie efl: pofita, et normalis in dire- ^lionem corporis, corporis dire<flioneni tantum immutabit celeritatem neque augendo neque mi- nuendo. Haec vis igitur corpus a linea breuifTi- ma deducet , facietque vt non amplius in plano id fuperficiem normali moueatur : huius igitur plani , in quo corpus mouebitur , inciinationem ad planum lineae breuifTimae normale in fuper- ficiem inuefiigari oportet. Huius v^ero inclina* tionis angulo aequalis efl angulus , quem radius ofculi lineae defcriptae cum normali in curuam conftituit *, quemque ante generaliter determina- vimus (71). Poftquam corpus elementum Mm ce- leritate altitudini v debita defcripfit progredere-

E 2 tur»

3.^ ■ CAFUT PRIMUM

tur, nifi a tI N follicitaretwr pcr elemcntnm In y, ita v£ M.7n et mv effent diio elenienta linese breuiflimae , et pofita in plano ad fuperficiem normali j erit (iiredio Yis N nQrmali& in pianum chartae, (it ea yfx; corpus igitur bac ti a plano chartae furfiim reducetur, fi quidem ponamua hanc Tim N furfum eife diredam hac elemento- rum poJltione vt ie tigura repraefentatur, Efii- ciat ergo haec yis, Yt corpus per elementum-??i p. moueatnr , anguloque pmix a dire^ione m n^ dejfledat* Huic ungulo refpondet radiiis ofcutizz:

^. Quare cum vis N hunc angulum generet, celeritasque euruae debita fit aititudini v , erit €X effedu Tiriom normalium f^zzz^—^^- ideoque |jLy rz: ■ '^rj ■' Qiio mmc inciinatio plani M77/|jij in quo corpus adu mouebitur, ad planum Mmy^ quod in fuperfieiem efl: normale, inYeniatur, de- mittatur ex v in elementem M ?;/ produdum peir- pendiculem m«; erit ^n quoque in mn perpendi- ciilare, ideoque aiigulus ^«j^ erit aegulus iecli- nationis plani |jt7;2M ad planum vmMy atque cuei IkV ilt normalis ad vn-; huios anguli tangens erit iz: g' zz fj^ll^ At ny determinatur ex incUna- tione elementorum Mm et mv feu radio ofcuH lineae breuiffimae , cuius Mm et nif funt ele- meBta, Sit hic radios ofculi ry erit ^ zz: r, ideoque tangens anguli |ji « y ^ j^ ZZZHZZZ i^&idsdx^d^y) > lu&mtuto loco r

BE MOTF NON LIBERO IN GEWEKE.37

•valore inuento (73.)- Huic yero angiilo acqus- lis eft angulu!», quem radius ofcoli elementorunn Mm, mix a corpore adu defcriptorum conftituil cum radio ofculi elementorum M/«j mv feu cum normali in fuperiiciem. Huius autem anguli tan- gentem fupra invenimus (71). Qiiare fada ae-

quatione habebimus (^^QddjTTid^-^^^.::^^^ —

i^^rx-^dQ^y) ■ ^ q^a aequatione efFeaus

potentiae N determinatur, Seu cum fit ddz — ^ddy — dYdx -\- dQdj habebitur ift:i aequatio

ddy {dx-^Vdz)- ddz{Vdy -Q.^^) =:-z=z

3

N [dx-^-Jt-^-^'^dz'^) 2V(P^-4-a^-Hl ) 2 If *

Tertia potentia T, qnia in diredione cor- poris eft pofita, celeritatem tantum vel auget vel diminuit. Ponamus eam efle accelerantem , exprimetur eius effedus hac aequatione ^or ~ T Vidx^ -\- dy^-^-dz''). Atque fi motus m medio fiat refiftente refiftentiaque fit in R, minuenda tantum eft vis tangentialis T refiftentia R. Quam- obrem habebitur dv zz. {T —K)y{dx^ ^ dj^--^ dz^). Q. E. I.

Corollarium i-

80, Ex duabus igitur aequationibus, quanim altera v altera dv determinat, voa confiatBr «7 non amplius continens , quae cum locali pro fuperiicie d z ziz fdx -f- Q^dy coDiunda deter-

E 3 mi-

3S CAPUT miMUM DE MOTU NOl^ &c

minat curiiam , quam corpus fuper propofita fu- perficie defcribit.

Scholion j.

Si. De potentia N bene eft attendendum in quam piagam tendat, h. e. an addextram anad finirtram regionem corporis moti vergat ? Pro hac enim difFerentia tangens anguli (jlwj/ vel af- firmatiua vei negatiua ell accipienda. De hoc vero non erimus hic foUiciti , fed vlteriorem huius rei disqaifitionem in caput vltimum huius libri differemus.

Scholion 2.

82. Ad fequens igitur caput fecundum pro- gredimur , in quo motum corporis fuper data linea in vacuo examinabimus. Capite tertio ve- ro motus fuper data linea in medio refiflentc inueftigabirnus. Quarto denique capite motum fuper data fuperficie tam in vacuo quam in me* dio rcfiftente fcrutabimur.

CAPUT

CAPUT SECUNDUM.

DE MOTU PUNCTI SUPER DATA LINEA IN VACUO.

PROPOSITIO 12.

Problema.

83.

SQlUcitetur corpus y quod fuper curua A M v;/^?- Tab»Ta m» vetur , vhique a potentia M F cuius direciio ^^' ^' fit parallela axi APj determinare celcritatem corporis in fmgulis pun&is ^ atque tempusj quo curuae quaeuis portio defcrihitur , nec non prejjio- nem y quam curua in finguUs pun6tis patitur.

Solutio,

Defcripferit corpiis iam arcum AM, fltqne eiiis celeritas in A debita altitudini b^ atque ce- leritas in M debita altitudini v, Pofitis nunc AP~ .r ; PMizij; et arcu AM — x; re- roluatur potentia MF , que fit p in latcrales nor- malem lcilicet MN et tangentialem MTj erit ds: dx—mY: MT et r/j : ^j/ zi: MF : MN. Hinc igitur prodibit yis tangentialis MT=:^ et Yis normalis rr ^. Perfpicuum hic e(l vim tan- gentialem celeritatem corporis minuere, erit er- go dv —z—pdx {^1.) atque v znC — fpdx, Sum- to autem integrali fpdx ita, vt evanefcat pofi- to xzzio^ erit v — h—fpdXy ex qua acquatio-

40 CAPFT SECVIW. DE MQTV PVNCTI

ne corporis celeritas in finguiis pundlis cogno- fcitur. Ex endem aequatione innotefcit quoque tempus , quo arciis AM abfoluitur , pofito enim tempore t erit t :^f^ {t — %dx)' ^i^ normialis MNzh^p tota impenditur in curuae preflio* nem fecundum MN (39). augebit ergo preiTiQ- nem a vi centrifiiga ortam , quia MN in oppo- fitam radii ofcuii M O plagam cadit. Quare cum pofito radio ofculi NOzzr vis centrifuga fit —

~ (20). Erit totalis preffio in curuam iuxta MN

^pdy ^2v^ Q E. I. ds ' r ' ^

Corollariiim i.

84. Celeritas in M igitur tanta eft , quanta foret in P, (1 corpus eadem celeritate initiali V^ per AP eadem in fingulis altitudinibus potentia p foilicitatum afcendiffet.

CoroIIarium 2-

85. Celeritas igitur non pendet a natura curuae , fed tantum ab altitudine , quam corpus percurrit. Si nimirum altitudinis elementum fue- rit ^Ix erit dv zzi-pdx vel dvznpdx prout cor- pus vei afccndit vel defcendit.

CoroIIarium 5.

8(J. Cum fit v—b-fpdxj fi fumatur abfcif- fa X tanta uti AC, pro qua fit fpdxnzh-, erit corporis in illa altitudine B celcritas— ^. Cor- pus igitur in B vsque afcendit , ibique quiefcet, continuo vero ex B defcendet per BMA.

Co-

SUPER DATA LINEA IK VACUO. 4.1 Corollarium 4.

87. Si afcenfus per AMB cum afcenfu rc- (flilineo per APC comparetur , erit tempus per eiementum N[?n ad tempus per ?pf \t Mm ad ^p i. e. vt ^s ad dx.

Corollarium 5^

8 8. Qiiare fi linea AMB fuerit red^, ob rationem Mm ad Vp conftantem , erit tempus per A M ad tempus per AP in conftanti ratio- ne nempe ea , quam habet finus totus ad coii- num anguli A, feu quam habet longitudo AB ad AC

CoroIJarium 6-

Sg. Pofito elemento Vp conftantc eft radius ofculi r =: j^^, ideoque vis centrifuga zr«

2v^dy_.-^h_-sp^^^ Q^^j.^ pj.^^^^ j^^^j.g

cnt zz

pds^^dy—-^ {b—Spdx\) dxdd^

ds

Scholion i.

90. Qiiemadmodum in hoc problematc tx datis curua et potentia foUicitante inuenta funt, ceicritas in fingulis pundis , tempus per quemvis arcum, et prelTio in fingula curuae punda : ita ex harum quinque rerum duabus quibusque da- tis , reliquae tres poffunt inueniri. Ex quo de- cem nafceiuur problemata, quae omnia folutio- nem ex huius problematis foiutione habebunt.

Tomjr F Scho-

^2 CAtVT SECFND. DE MOTV TVUCTl

Scholion !♦

91. Similiter habebuntur decem huiusmodi quaeftiones , fi dirediones potentiae foilicitantis non fuerint parallelae, fed ycI conuergentes ad centrum virium , Yel aho modo determinatas dirediones habentes. At fi etiam diredio inter quaeftta ponatur tunc ob lex res in computum ducendas, ex ternis quibusque , rehquae tres in- uenientux j hincque yiginti orientur probiemata,

Scholion 5^

p2. Orientur porro problemata indetermi- nata, vt fi loco temporis per quamuis euruae portionem tantum integrum tempus per AMB daretur , tum enim infinitae folutiones locum haberent. Praeterea fi pkires defcenfus vel afcen- fus integri confiderentur fuper eiusdem curuaevariis partibus, eorumque ratio detur,numerusquaeflionum iTiuIto magis augebitur. Ad hoc genus pertinet quaeflio de inuenienda curua , fuper qua omnes defcenfus ad datum pundum fiant eodem tem- pore , quas tanquam difficiiiimas vltimo pertradabi- mus. Nunc autem primum curuam et poten- tiam foliicitantem tanquam datas accipiemus et problemata eo pcrtinentia foluemus. Deineeps vero ex aliis datis , quemadmodum reiiqua fint inuenienda , monrtrabimus.

SFFER BATA LTNEA m VA0FO. 43

PROPOSITIO 15.

Problema..

Ttbuia nn 93. Si potentia foUicitam fuerit miformis et Fig, 4*

^hique deorfum tendat , determinare defcenjum cor-

poris fuper data euriia A M in A ex quiete incipi-

entem , atque preffionem-^ quam cuua , in JinguUs

pun&is Mfujiir^t,

Solutio.

Dudla verticali AP feii parallela diredioni- bus potentiiie MF, atque applicata redangula MP, fit AP = .r, PM~js curua AM :r_ J. Po- natur potentia MF— ^, exiftente vi grauitatiszz: I , ct celeritas in M debita altitudini v. His po- fitis erit Yis normalis zz: ^^ et vis tangentialia

1:1^(83.). Quia hoc cafu Yis tangentialis acce- lerat, erit (^^rz:^^.T , et^yrr^x, ob celeritatem in A~o. Deinde quia radius ofcuii in MO dire-

dlus eft zi: ^-^ , pofito dx conflante, erit vis

centrifuga nz ^^^fr- ^ , cuius diredio eft MN. Secundum eandem plagam vero premit vis nor- malis ^^. Qiiare tota preffio , quam curua ia

M fuftinet fecundum MN eft =r^-f-^"j^2Z

kdy . 2gx^dx ddy i rr^

^"T-'"^^^" — 00 vzzigx. lempus vcro quo corpus arcum AM percurrit cdzzz /7^. Q;E.I«

F 2 - Co-

44 CAPFT SECVNR DE MOTF TFNCTI CoroUarium !•

94. Celeritas igitur in M tantum ab altitu- dinc AP; per quam defcenciit, pendet, atque tan- ta eft , quantam idem corpus ex AP deiapfum et ab eadem potentia^ foliicitatum acquirit.

Corollarium 2-

95. In quacunque igitur curua corpus a po- tentia vniformi g foUicitatum ex quiete defcen- dat, celeritates erunt radicibus quadratis ex aiti- tudinibus percurfis proportionales^ eft enim ce- leritasj \tVv i. e. vt Vgx.

CoroUarium 5. ^

^6> Tempus quo primum elementum Aa percurritur , eft /y^ euanefcente x, Si igitur angulus PA^ fuerit redo minor feu sziznxy erit tempus per Aa infinite paruum, ideoque tempus AM finitum , nifi curua vel afcendat inter A et M, fupra A vel in infinitum progrediatur. At fi angulus PA^ fuerit redus , erit ipfo puncto A , s^zi:a.x, exiilente 72 numero vnitate maiore , i-

deoque Vgx z=: s V ^ , et Jy^ — -^^ v f. Qiiare li« fuerit binariominor, tempus per Aa erit Infinite paruum , et tempus per AM finitumo At fin~ 2 vel J>2 tempus per primum elementum Aa |erit infinite magnum ; feu corpus ex A nua- qiiam egredietur.

SVFER DATA LINEA IK VACVO. 45 Corollarium 4^

97. Qiioties autem « <^ 2, toties radius ofcu- li in A eil infinite paruus. Qiiare in cafu quo taii- gens curuae in A ad AP efl: normalis, corpus non defcendet, nifi radius ofculi in A fuerit infinite paruus.

Scholion i.

98. Ex eo , quod primum elementum tem- pore infinite paruo percurritur , redle concludi- tur tempus per arcum AM efTe finitum, cum enim corpus motu accelerato per AM defcendat, multo ceievius fequentia elemehta defcribentur, et liancob rem tempus debebit t^t finitum. Exemplis au- tem fequentibus omnia illuilrabuntur.

Exemplum i. Tsbda im

g^. Sit linea AM reda Ytcunque inclinata ad verticalem AP, atque cofinus ang. Azz ;/, erit xznns, Tempus ergo, quo corpus per AM de.

^ j. . rds_ 2Vf 2 V AM 2 A M <;.

lcenait 5 erit , — J^gns — -^gn — ^gn — ve.AP* ^^^ tempus per lineam vtcunque inclinatam eft dire- dte, vt radix ex ipfa linea et inverfe , vt radix ex cofinu anguli inclinationis MAP. Vis centrifugaerit autemzi: 0 ,quare linea AM tantum a vi normali premitur, quae Q^—gvii-n , :=^^j^'

Corollarium 5.

100. Tempus ergo per AM efl: ad tempus per AK, vt VAM ad VAK. At tempus per AM eft ad tempus per AP vt AM ad AP. (8S> Qua-

F 3 le

4^ CAPVT stcvm. m motj tvkcti

rerifueritAM:AP=V^AM:yAK,reuAM:AP=rAPj AK,quod euenit fi PK eft in AM perpendicularis tum tempus defcenfus per AK aequale eft tempori de- fcenfus per AP.

Corollarium 6.

101. Patet etiam tempus defcenfus per per- pendiculum PK aequale elfe tempori delcenfus per AP. Eft enim cofinus anguli APK i:=rp> Q.uarc cum fit tempus per AP ad tempus pcr KP Tt yT* ad V^KP:Vxp7 erit haec ratio aequalitatis.

Corollarium 7.

TabuU IV. 102. Ex hoc perfpicitur in circulo APPB

^ig. I* omnes defcenfus per chordas AP ex pundo fupre- mo A dudas , nec non omnes defcenfus per chor- das ad pundum infimum B dudlas aequalibus fieri temporibus ; eo fcilicet tempore, quo corpus per diametrum AB perpendkuhariter delabitur.

Exemplum 2.

^tbula IT. 103' Si curua AMB fuerit circulus, ac ra-

*^^S« a» Jius BC"tf ct AP tangat circulum , erit (^— j)*

.^ -4-.r*~^* feuj/zn^— V{a^- x^)» Habebitur er-

go dszz. Y{a^^x^) ? ^t ob v—gx et 7^zza erit vis

centrifuga rz ^;atque ob dj ■^"^^^^-^^ tota pref-

fio , quam circulus in M fuftinet — ^. Triplo igitur maior eft tota preflio , quam fola Yis nor- maliSc Tempusdeiiide,qi]oarcusAM percurritur, cft

SVFER DATA LINEA IN VACVO. 47

^fTg^^x-^^i cuius integratio neque a circuli nec hyperbolaequadratura pendet, fed ope redificatio- nis curuae elaibcaeconltruipoteft. Tempus interim per quadranremAB eil:iz2.Vj x ( i -f- ^j -~{-j-^^

I. 3- ?

2.4-. 6. 13 "^ etc).

Corollarium g.

-^^•^"p

T04. Cum corpus ad infimum punftum B per- venerit, ibi habebit celeritatem aititudini ^^ de- bitam. Hac igitur afcendet in altero quadranteBD pertingetque adD j ^bi eius celeritas evanefcet , ideoque rurfus defcendet ad B tumque ad A per BA reafcendet. Similis vero erit afcenfus defcenfui per quadrantem , quia corpus fiue afcendat fiue de- fcendat in iisdem pundis eandem habet celerita- tem.

Scholion !•

105. Alia exempla non afferimus , cum in "" fequentibus, vbi plures defcenfus ad pundum fixum fuper data linea confiderabimus, plura fimus ailatu- ri. Nunc vero primum eas quaediones evoive- mus , quae pertinent ad motum fuper data linea, ex dato pun(flo fixo aquiete incejptum : cuius modi eft problema jfequens.

PROPOSITIO 14.

Problema

10 5. Si fuerint infinitae curiiae Jimiles AM ^Tabuia ly A M etc» ex pun&o fixo A initium jumentes j iniienire ^^s» 3«

cnr'

^s CAPUT SECFKD, DE MOTU PFKCTI

curiiam CMM, ah iUis curuis arcus AM, AM etc. abfcimJentem , qui a defcendente fuper iis corpore ae- qualibus tejnporibus percurrantur\ exiftente vt ant$ potentiafollicitante vmformi et vbique dsorfum dirsBa,

Solutio.

Ex infinicis curuis datis fumatur vna quaccua- que AM , cuius parameter fit a. Pofitoque AP=.v, VMziiy et arcu AMzzXj et exiftente vt ante poten- tia foUicitimte =^', defcendat corpus fuper curua AM, erit celeritas in M debita altitudini gx, Tempus ergo defcenfus fuper AM erit =z/^. Ab omnibus ergo curuis AM, AM etc. tanti arcus funt abfcindendi,vtpro iis fit /yj^ quantitas con- ftans. At/y~adalias curuas referetur, fi prae- ter s ct X etiam parameter a ponatur variabilis. Pofito igitur in /^^^ etiam a variabili , quantitas JTsx ponenda eft: zn conftanti , nempe ei tempori quo omnes; defcenfus fieri debent. Sit hoc tem- pus n: k erit kzz/r^ in fingulis curuis. Quare fi ;j~. ita difFerentietur vt etiam a variabiie po- natur , hoc differentiale nihilo aequale eft po- nendum. Ad hoc difFerentiale iniieniendum fit ds 'znpdx , eritque />, quia omnes curuae ponuntur fimiles, funcftio in qua a et x nuUum dimenfionum Kumerum fimul conftituunt. Habebimus ergo/^: hoc differentiatum pofito quoque a variabiii dabit

fdx

Vsas

SVFIR BATA LimA IK VACVO. 4?

^jj^ -{- ^ ct ^ 'i quod :fieri debet znc. Qaantitas q vero Tcquenti modo inuenietur. Qiiia ert ^zz:/^^; in quantitate k^ variabiies a tt x diinenfionuni nuineriim conftituent ^. . Oftendi autem alibi ia Tom. JX. Comment. tum forc i;^ -}- ^ ^ zz: |. Ex quo inuenitur q~- k^^ ^. Habebitur crgo

^ -4- qda = ^-|3^-f- -^ - ^ =z 0, Quae eft aequatio pro curua quaefita. At fi aequatio in- tcr coordinatas x tt y pro curua CMM defidc- retur , ex aequatione pro quaque curuarum AlVf, valor ipfius a m x Qt y inuentus fubftitui debet* Q. E. I.

Gorollarium i.

107. Aequatio etiam primo inuenta y-^ n: ^^ ^hA^ fafficit ad curuam CMM inueniendam, ISlam pro quauis abrciffa AP ~ Ji; ex ea inuenitur a parameter eius curuae AM, cuius pundum M refpondens afTumtae abfciiTae x eft in curua quae- fita CMM.

Corollarium 2.

108. Cum autem iiaec aequatio fit diiferen- tialisj ideoque ad piures curoas pro conllant© quac adiicitur, pertineat; notandum efl in addi- tione conftantis, eam tantum folutioni efTe con- venientem , quae pro data curua feu pro dato ipfms a valore det abfciffam x tantum arcum AM abfcindentem, qui terapore k defcenfu ab- foiuatUF.

Tem.lL G Co-

50 CAPrT SECVND. DE MOTF PFNCTI CoroUarium 5.

109. Si tempus k aeqiiale efle debeat tcm- pori defGenius per verticalem ACzzzb, erit ^ zz ^. Quo vaiore fubftituto halxebitur aequatio i^__pja^_d^ In cuius integratione id eft facieiidum,'>vt curua per pun(flum C transeat.

ib Scholipn I.

-ni 110. Erit autem femper reda verticalis AC fpecies curua.rum AM*, quae oritur , fi parame- ter ^ vel infinite magna vel infinite paru^ acci- piatur. , Quare commodilTime tempus conftans ;^ per defcenfum per verticalem AC, quippe fpe- ciem curuarum AM , exprimitur. Atque in con- llruarione aequationis inuentae ^--^_^ tanta conftans eft addenda, vt pofito xznzb, fiat a vel infinitunni vel nihil, prout ille vel ifte valor ipfius a reda AC refpondeat.

Scholion 2.

iir. Si yT^ reipfa poteft integrari,nedata quidem aequatione opus eft, ad quam inueniendam opus

fuit ^ determinare. Nam fi integrale ipfuis ^ iterum differentietur pofito quoque a variabiii reipfa obtinetur q ; atque hoc difterentiale tan* tnm nihilo aequale effet ponendum. Commodif' fime vero his cafibus probiema foluetur, fi inte- grale ipfius ^ ftatim ipfi ^ vel -^ aequale po- nutur , et loco a eius vaior in x et j fubftitua' tur ex aequatione pro curuis datis. Atque hoc

mo-

SFPER DATA LINEA m VACFO^ $x

modo folutio ia promtu eft noii folnm pro cur- uis iimilibus, fed diflimilibus etiam, 11 modo tem- pora defceafus pcr quantitates finitas exprimi polTunt.

Exemplum j.

112. Si omnes hae curuae AM fuerint re^flae diuerfimode ad verticaiem AC inclinatae , erit/ ^nx et X rz: x y( I +/2 *) ubi n tanquam para-

meter eft confideranda. Erit ergo f-^—f-~/^^~^ __ i^/x{\-^n^) q^j^j aequale poni dcbet ipfi ^ g • Erit itaque .r ( i -\-n'^) ~ h. Cum autem n fit quantitas variabilis, ponatur pro ea Yalor f- ex aequatione jF zn ?2.r : quo fado prodibit pro cur- ua CMM aequatio inter coordinatas ortiiogona- ies .r Qt y iftaj* -\-x^ —b x ^ quae eft pro cir- culo; cuius diameter eft reda AC — ^.

Scholion 5.

113. Hic cafus eft ille ipfe cafus ante per- tradatus (102), ibi enim oftenfum eft corpus per omnes chordas in circulo ex pundo fupremo edu- «ftas aequalibus temporibus defcendere. Pertinec hic quidem cafus non adcuruas fimilesj fed hoc ex- emplum attulimus ad cafum Scholii 2. illuftrandum, quia pro redis hisce tempora defcenfus finitis quan- titatibus exprimuntur. Sequentia exempla vero curuas fimilesj vti propofitio poftulat^ comple- d:entur«

- '^ G 2 Exem*

i^ CAfVT SnCVRD, DE MOTV PFRCTI

Exemplum 2.

114. Sint curuae AM, AM omnes circuli tangentes verticalem AC in A. Ponatur radius cuiubque eorum — ^, erit j:^a~V{a^—x'^) atque

^zn-^y^. Hi circuli vero omnes funt curuae fl- iDiics , quia ayj et x in aequatione eundem di- menfionum numerum tencnt, feu homogeneitatem complent fola. Radius igitur a tanquam parame- ter variabilis debet tradari, Habetur autem ex illa aequatione dsziz^^^z^^x ? quare Gnt pzzi-^j-r-r^z^p ideoqiie praefcrsptam liabet proprietatem, Mtact X' dimenfionum numerus fit nultus» Hanc ob rem pro curua CMM haec habebitur aequatio .^^^^^^y-

, daVx da-s/b r^ » daVb xda — - — adx

— V(a^— 3c^) "~ tt y *^^ naec —^ — v(a^x: — x^y Quae aequatio conllrui poteft y pofito enim x zr

au j prodit -^j^— 7(u.lzt^ ii^ ^^^ indeterminatae funt a fe inuicem feparatae. Qiio autem aequatio inter coordinatas x et j pro curua CMM obti« neatur^ ponatur loco a valor ^ "Ty" et loco da eius differentiale t^^^^^ ^ Quibus fubftitu^ tis fequens prodit aequitio dilferentialis — .T<^^-f- jdx - (r^^y^-^tE^ Quae ita integrari debet ut pofito xnzb fiat jr=:^ > quia curua per pundum C transire debet»

Corollarium 4.

115» Ex hac aequatione tiingens curnae C MM in fingulis pundis cognofciturj et ex poii- tione tangcads innotefcit angulus AMMj qoo

SVPER DATA LINEA M VACFO. 53

curua CMM quamlibet datarum interfecat. Erit fcilicet tangens anguli AMM ~ 3^177^. Hic ergo angulus eft redus in C? ob .rzn^, leu curua CMM in C ad AC eft normalis.

CoroIIarium 5-.

J16. Si h vel maior vel minor accipiatur curua CMM alia quoque erit, hocque modo in- finitae orientur curuae a circulis arcus ifochro- nos abfcindentes. Haeque curuae omnes intcr fe erunt (imiles, ob parametrum ^ , quae in aequa- tione cum x et / homogeneitatem conftituit* Data ergo vna curua CMM innumerabiles aliae cx ea condrui pofTunr, abfciilis fcilicet et appii- catis curuae CMM m eadem ratione augendis vel diminuendis , in qua AC feu b augetur vel diminuituro

Exemplum 5-

117. Sint curuae AM, AM omnes cycloi- des cufpides in A habentes et tangentes verti- calem AC iu A. Pofita parametro cuiusque cy- cIoidisAMfeu dupla diametro circuli generato- riszi:^-, erit ex natura cycloidis S'zzn—VXa'^-2,ax}

7 adx 1 • 7 dx-s/2ctx tt^^

atque ^jr=y(^.__^^^); hmcque ^— y^^^zns^- Hoc ergo cafu efl: ^=: T^iil)? funclio ipfarum a et X nuliius dimenfionis vt reqoiritur. Quare pro

.^ . adx

ciirua CMM repentur ifta aequatio y^a^x— 2ax^>

G 3 aequa-

54 CAPFT SECFND. DE MOTF PFKCTl

aequatio inter coordinatas orthogonales x Qty dc- fideretiir, ex aequatione j ::=/7§r:r^ Teu iiuius difFerentiali pofita quoque a variabiii, valor ipfius a debet fubilitui. Haec vero aequatio difFeren- tiata pofito a quoque variabili dat ady —j/dazzz

Mdxy/2ax—xda^/2ax r,„ ady—yda axdjcj--x^d_a /^,,^p

— VT^^^Ta"^0 l^U V^a" — ^/{a^x^2ax^/ \^^^

- , , , ady — yda ax'dx—-x^da q,

abit in hanc -^i" =^ ^^x~^2x^)' ouperior ve- ro per :^ multiplicata praebet hanc , f^ zr, 4?HliF~4f^)- Hae duae aequationes additae dant aequationem integrabilem , cuius integralis eft

«V2 ~ TvS == — ^ • Ex qua valor ipfius a

erutus fitv/«~>5^.ii=2^f=^-ti£i) et y(tf.r-2,T^) --; -i.^ — ^ ^__ ;^ Quibus valoribus m

^. ixdy—ydx)-\/a-^xdx-\/2b j -%/ i

aequatione ^ck^x^Y^ = dy^ b^ quae ori-

tur ex duabus difFerentialibus eliminato da^ fub-" Hitutis prodibit -M^^=:^ -: ^w(2l:=^!) j^g. quatio pro curua quaefita CMM.

Corollarium 6.

iiS. Ex hac aequatione inuenitur tangens anguli, quem curua CM cum applicata PM con-

ftituit nempe | - ^:^^^^^^. Deinde

ctiam innotefcit tangens anguli? quemcycloisAM

cum

SVPER BATA LINEA IN VACVO, 55

cum applicata P M conftituit. Ex aequatione cy- cloidis erit nimirum f- — - Vi^_-_£^) ^vr«:>^-2x»)

Eiiminato vero ^erit ifla tangenszii-^^^^^y/^^r^,-''^^) Qiiare cum horum angulorum alter alterius flt complementum, fumto illius deinceps pofito, erit angulus , quem curua CMM cum qualibet data- tarum AM conftituit, redus. Confequenter cur- va CMM eft traiedoria orthogonalis omnium cycloidum datarum AM, AM (Scc.

Corollarium 7.

119. Sumto AC alius magnitudinis , aliae quoque curuae CMM prodibunt, et fic infinitaetra- iedtoriae orthogonales inueniuntur, quae omnes inter fe funt fimiles. Data ergo vna faeile quot- quot libuerit ; conftruere licebit.

Scholion 4.

120. Omnes hae curuae arcus abfcindentes irochronos , quaecunque fuerint curuae fecandae^ femper conilrui poirunt, etiamfi id ex aeqiiatio- ne non appareat. Per quadraturas enim ex da~ tis curuis arcus polfunt abfcindi , qui dato tem- pore defcenfu abfoluantur , hocque modo punda quotlibet curuae quaefitae inueniuntur. Si quidem curuae fecandae funt algebraicae , aequatio pro curua fecante femper ita efl comparata, ut fadis debitis fubftitutionibus indeterminatae a fe inuicem poffmt feparari. At fi curuae fecandae differen-

tiali

S6 CATVT SECFND. DE MOTF PVKCTl

tiali aequatione exprimantur, aequatio difteren- tialis pro curua fecante rarilTime feparationem in- determinatarum admittit. Ctiufa eft , quod pecu- liari modo, quo in hoc cycloidum cafu ufus fum, parameter a eliminari debeat ; eaquc fubftitutio ad feparationem non deducat.

Scholion 5.

121. Deinde obfcruandum eftj omnes cur-* iias arcus ifochronos abfcindentes , quarum nume- rus pro vario ipfius b valore eft infinitus, inter fe fimiies eife, fi quidem curuae fecandae fue- rint tales. Coliigitur hoc ex generali aequatia-

ne ^ n: ^— ^ — — in qua cum p fit lunctio

ipfarum a et .r nuliius dimenfionis quantitates^, h ct X homogeneitatem conftituunt. At ex ae- quatione curiiarum fecundarum, quia in ea a, x et j x^bique eundem dimenfionum numerum con- ficere ponuntur, valor ipfius a erit fundlio ipfa- rum X ct j vnius dimenfionis. Quare eo fubfti- tuto loco ^ habebitur nequatio pro curua fecante, in qna b , x et j vbique eundem dimenfionum numerum conftituunt. Confequenter b variabili pofito oriuntur iniinitae curuae fimiies inter fe refpedu pundi A. Data ergo vnica , reliquac £icile ex Hmilitudinis ratione defcribuntur,

Scholion 6*

122. Materia haec dc arcubus ifochronis ab- fcitidendis iam praeterito feculo «ft pertradata

ia

3UPER DATA LINEA m VACUO. $r

in A(fl. Erud. Lipf. A. i6^j. a Cel. loh. Ber- nullio, atque poilmodum in Comment. Acad. Parif. a Ccl. Saurino, qui vero alia methodo fiant vfi. Ego vero eam adhibui methodum, quam in no- ftris Comment. pro A. 1734.. ^radidi, tanquam commodifTimam ad huiusmodi problemata foluen- da. In his vero locis Viri Cel. curuas quoque fimiles tantum, vt ego, confiderauerunt , fme dubio, quia pro curuis diirimilibus folutio fit ni- mis difHcilis et faepe etiam vires fuperat. Vo- cantur vero in locis citatis hae curuae fynchronaei quia arcus limul percurfi abfcinduntur.

— Scholion 7.

123. Ex mea differtatione Tomi IX. Com*' inent. Acad. Petrop. apparet , has curuas iyn- chronas fimili modo polfe inveniri , fi curuae datae etiam^on fuerint fimiles, fed eiusmodi tanveu , vt pofito dszizpdx, in p quantitates a ~^t X datum dimenfionum numerum conflituant; tum enim aeque facile valor literae q inuenitur. Vt fi numcrus dimenfionum ipfarum a et x in p fuerit rij aequatio pro curua fecante reperietur

haec ^-0 -t^ ~ ^^^ -^'J '' '\ Quare fi fue-

rit «zz:-!, yt fi fuerit pzn^t^&^^ erit ^ z=: -^ ideoque x 3: ma ^ feu .r in data ratione ad partimctrum a efl capicndum : quo igitur cafu conftiudio fy nchronarum efl fliciiliraa. At fi p Tom. II, H non

5S CAPVT SECVm.BE MOTV PVKCTI

non huiusmodi habuerit| valorem, ex fupra ci- tata differtatione mea intelligitur, quo modo in aequationem quaefitam fit inquirendum.

PROPOSITIO 15.

Problema.

Tabuiaiv* 12 4.. Si fueHt , vt ante infinitae curuae fimi-

^^' *" /^x AMj AM etc. et reBapofitionedata D E •, invenire eam^ur uam AMN) fuper qua corpus tempore breuif- fimo ex A ad reBam DE defcenfu peruenit,

V Solutio,

' Defcripta per Prop. praeced. quacunque cur- va CMM arcus AM ifochronos abfcindente, du* catur tangens GMH parallela datae redae DE. JVlanifeftum efl: fuper curua AM, quae ad pun- d:um contadus M tendit , corpus tempore bre- uiflimo ad redam GMH efle venturum , quia quaeque alia punda redae GMH extra curuam C MM cadunt, ideoque longiore tempore opusefl:, quo Gorpus ad ea perveniat. lam, quoniam o- mnes curuae a cqruis AM, AMj arcus ifochro- nos abfcindentes funt inter fe fiiniles (121). conr cipiatur ex iis una quae redam DE tangat, di- co pundum contadus fore in N pundo , quo reda AM per prius pundum contadus M duda red:ae DE occurrit. Sequitur hoc tum ex natu- ra fimilitudinis curaarum CMM refpedu pundi A, tum etia^rcL^x eo, quod arcus AMN fimilis fit arcui AM, atque redac DE in eodem an- gulo occurrat, quo curua AM redae GH. Qua- ' re

SVTER BATA LINEA IN VACVO. $^>

re cum corpus per AM tempore breuKriino ad GH perueniat , ne^^eflc eft, Tt quoque tcmpore fereuifTimo fuper curua AMN ad redam DE per- Yeniat. Q. E. I.

Corollarium I.

IS5. Ex hoc perfpicitur, fi reda DE fue- rit horizontalis, corpus defcenlu per verticaleni AC ad eam citiflune peruenire, ob tangentem curuac CMM in C horizontalem: id quod qui- dem per fe perfpicuum eft.

Corollariiim 2.

126". Si ergo curuae AM, AM fuerint cy- cloides vt in exemplo 3. Propof praec. pofui- inus, corpus fuper ea cycloide celerrime ad re- Ctxrn DE peruenit, quae liuic redtae in N ad an- gulos redlos occurrit •, quia angulus, quem quae- que cyciois cum curua CM conftituit, eft reclus.

CoroUarium 5.

127. Si igitur recSla DE fuerit verticalis feu parallela ipfi AC , portio cycloidis AMM erit di- midia cyclois. Quare fuper dimidia cycloide mo- tus horizontalis eft celerrimus.

CoroUarium 4.

128. Si curuae AM, AM fint redae ex ^abuia iv« pundlo A ad redlam pofitionem datam DE du- ^^'^' dae, corpus fuper ea AM citiflime ad DE per- veniet, quae eft chorda circuH per A tranfeuntis et cen-

trum in verticaliAB habentis,atque rectam DE tan- gentis .(112.). H 2 Co-

So CAPVT SECVND. DE MOTU FVNCTI Corollarium 5,

i2p.Si igitnr angulusDCA fuerit n graduum erit angulusBAM^—^'' graduunij et angulus AMC gra- duuni^^. Scu dud:a horizontali AGH, anguloque DGH biredo reda GF, erit quaefira linea AM pa- raiiela ipfi GF.

Corollarium 6^

130. Quare fi linea DE fuerit verticali^ cor- pus ad eam citiflinne perueniet defcendendo fuper redta ad horizontcm angulo femiredo inclinata. Corpus igitur fuper reda hoc modo inclinata motu horizontali celerrime progreditur,

Scholion^

Tibuin IV. 131. Simili modo quoque Inueniri poteft ,

fuper quanam infinitarum curuarum fimilium AM, AM corpus defcenfu citiffime ad datam curuam perueniat. Nam fi iinea GMH fuerit curua quae- cunque tangens curuam CMM in Mj corpus fo- per hac curua AM celerrime ad curuam GMH perueniet, ii quidem tota curua GMH extra cur- «am CMM fuerit fita. Eodem etiam modo polfet determinari , fi curuae AM, AM non fu^ crint fimiles , fuper quanam corpus celerrime ad datam lineam GH perueniat. Ex infinitis enim curuis CMM arcus ifochronos abfcindetitibns ea eft quaerenda , quae datam GMH tangat, eritque ea cnrua AM, quae per pun6"um contadus tranfit ea, quae quaeritur. Sed cum in his cafibus dif- €ciie pieiumque fit curuas CMM inuenire^ mul-

toqnc

Fig. 4.

SV?ER BATA LimAm VACm 6t

toque difiicilius eani determinare, quae datarrl li- neam tangat ; quaeftionem ad curuas fimiles tan- tum reftrinximus

PilOPOSITIO i6.

Theorema.

132. Tempora defcenfuu?n , quibus corpus cur^ Tabuia iv uns AM et Am Jimlles JimlHterque ex pun^o Apo- Fig. 6. ^tiis percurrity funt in ratione fubduplicata laterum bomologorum,

Demonftratio.

Qiiia curuae AM, Am (unt (imiles, crunt AMj Am\ AP: A/>; etPM:'p/72in data ratione, nem- pe ea, quam latera liomologa teneni *, fit haec ratio laterum homologorum N: n, Qiia celeri- tas in M eft ad ceieritatem in m , ^t VAP ad VAp, erunt celeritates in M et m in ratione fubduplicata laterum homologorum. Sumantur jam ex M et m elementa fimilia rationem fcili- cet N ad ;2 tenentia, erunt tempora, quibus haec duo elementa homologa percurruntur in ratione eompofita ex direda elementorum , i. e. N ad « ct reciproca celeritatum , i. e. VN: Vn. Exquo fequitur , tempora, quibus curuarum AM, Am eiementa homologa percurruntur , t^Q in ratio- ne fubduplicata laterum homoiogorum. Qiiare cum haec ratio fit conftans, tempora, quibus to- tae curuae A M et Am percurruntur , eandem hanc rationem tenebunr. Q^ E. D. ^

H? Co-

s^ CAPFT SECFND, DE MOTF fFKCTl Gorollarium i.

133. Tempora igitur, quibus arcus circulares fimiles fimiliterque pofiti defceiifa percurruntur , funt in fubduplicata ratione radiorum,

CoroUarium 2.

134. Pendula igitur^quaearcuscir^ularesfimilej defcribunt , ofcillationes abfoluent temporibus , quae rationcm fubduplicatam longitudinum pen- dulorum tenebunt.

Corollarium 5.

135. Eadem ratio tcmporum locum habet, fi Corpora pendula non circulos defcribant , fed alias curuas, dummodo eae fuerint inter fe fimi- les ; fimilesque arcus abfoluantur.

Scholion.

135. In his autem omnibus potcntiam folli- citantem femper ponimus Yniformem , deorfum- que tendentem , etiamfi hanc conditionem omi- ferimus. Hanc enim hypothefin antc pcrtradarc conilituimus, quam ad alias fumus progrelfuri.

PROPOSiTIO 17.

Problema

Tflbuia V» 137. Exljiente potentia foUicitante vniformi ten-

^^* ^* denteque deorfum , moueatur corpus fuper curua qua-

cunque AM cum data cekritate initiali in A: de-

tev'

SFPER DATA LINEA IN VACVO. c

J

terminare motum cprppris fuper hac curua, et pref- Jipnem j quam ctirua in JinguUs pun&is fujfinet.

Solutio.

Pofita potentia follicitante g, et celeritate initiali in A debita altitudini b, praetereaque AP zzzx', PMrrj", AMzrj- et celeritate in M debi- ta altitudini «y.' 'His pofitis erit dvzizgdx, (93.) vnde fit vz-b-\-gx, Porroque tempus per ar-

cum AM crit /y(^,!^.ax)' Deinde preiTio totalis , i^uam fuftinet curua lecundum diredionem norma-

lis MN erit = '4l -^ "Tf^''' (93-) == '# -H 2(b-^gxj^_xddy exiftente'^.v elemento conftante. Hoc enim tantum difFert haec folutio a folutione Prop. 13, quod ibi effet vzzgx , hic yero fit (vzzb-^- gx, Ex his igitur formulis tum motus tum pref- fio cognofcitur. Q. E. .1.

Corollarium r.

138. Si iinea AM fuerit redla, jam ex§.8 8. intelligitur tempus per AM efle ad tempus de- fcenfus perAP eadem celeritate VZ' incepti , xt 6(1 AM ad AP. PrelTio vero ob euanefcentem vim centrifugam erit =1 jf feu conftanSf^i 53

Coroilarium 2.

139. Patet etiam lioc cafu , quo motus non a quiete incipit, celeritatem ab altitudiii^. tantum pendere. Qiiare quaecunque fuerit curua- AM ee- leritas corporis in quouis eius pundo innotefcit f ,ctiam incognita curuae natura. ^ v "^ .

Exem-

^^4 CAPUT SECVND. DE MOTU PVKCTI Exemplum L

140. Sit curua AM parabola verticcm in A ct axem verticalem AP habens *, erit crgo pofi-

ta eius parametro zi:^ j J =:^^ *, ^t ^111:7^ ct <f j- 13 ^^^^^^. Habebitur ergo tempus per AM ^Jj^b^^y Deindc cum pofito dx conftante

/» 11 — adx* ' dx ddy — 2 a

llt aaj — ^x^axJ ^^lt ds^ ' — (a-f-4xMc*^4a^» LOH-

fequenter prcfliototaiis ell =r;^-^- J^^^^^—.

gg* — 4a&

Corollarium 5^

141. Si igitur eft^n:^, preftio curuac c- Yanefcir. Corpus ideo hoc cafu libere in hac pa- rabola moueri poflTef, qui eft etiam ipfe cafus praecd. Libro pertradlatus.

Corollarium 4^

142. Exiftente igitur b:iz^ga erit tcmpus

pcr arcum AMrz/y^-^zi: -y^. Hoc ergo tempus

aequatur tempori defcenfus per abfciflam AP % quietc incepti.

Corollarium 5.

143. Sib^^ga preflio iit negatiua , tum igitur curua in piagam axi AP oppofitam premi- tur. A fi b <^ ^ ga diredio preflionis crit in MN. Quantitas vero preflionis in finguiis curuac pundti» crit rcciproce vt radius ofculi.

Exem-

y

SFPm BATA LINEA IW VACVO. s$

ExempluiTi 2»

144.. Si cunui AM flierit circiilus *, cuiitS radius zz: a ^ ct ceritrum iii Terticali AP fit

pofitum ; eritj z:z2ax — x , Tnde dyzz::^^^:^^ et ds'zz;^^^,:r^Y Ent ergo tempus, quo arcus AM percurritur— /ffi^^Tj^-^^. Atque cum fit 'iiT^ ~ ^^ j cric predio, quam circukis iti pnnfto M patitur z=. g~^ - ^^' = S - ^- « *

Corol]arium 6*

145. Tempus per logarithmos exprimi pot-

€ft, Ti fiicrit hzno'^ fit niitem zi:c>oj feu corpus perpetiio in A manebir. Id quod per fupra tra- dita (97.) patct. N:im , quia curua in A eft nor- malis in AP, neque radius ofcuii infinite paruuSy corpus defcendere non poteft.

Coroliarium 7*

I45. Si eft ^ ~ ^ , feu celeritas initialis , tanta, quantam corpus acquirit cadendo ex alti- tudine dimidii radii circuli; preffio totalis cum

Ti centrifugal erit . confpirans atque zz ^-f^ j erit itaque altitudini percurfae proportionalis.

147. Motus ofcillatorius eft motus recipro- TabnU v«

cus , qao corpus alternatim accedit et recedit ^ig. a,

ab initio motus M. Ita Ji corpus fuier curua Tom,lL I '

C6 CAPFT SECFND. DE MQTV PFNCTI

MAN moueaturj primo defccndet fiiper MA , tum a-

fcendet in AN , donec celeritatcm amiferit •, deinde

ex N iterum defcendet afcendetque in arcu AM, qtio

fa&o iterum defcendet , hancque periodum continuabit:

Atque ta/is motus ofcillatorius vocatur.

Corollarium j.

I4.8, Motus ofciibtorius ergo co-iifldit in al- ternis^ defcenfibus et iircenfibus luper liuea curua-, atque dercenfu motu acceierato rnouetur , afcen- lli vero celeritatem acquificam rurfus perdit.

Corollarium 2.

1^9. Qiiilibet ergo defcenfus fuper eadem curuae parte fit, fuper qua praecedens afccnfus contigit. Qtiare cum celeritas corporis ab alti- tudine tantum pendeat in vacuo , cor,pus in eo- dem curuae pundo fiue in afcenfu fiue in defcen- fu eandem habet celeritatem.

Corollarium 5.

150. Ex quo fequitur tempus defcenfus per MA, aequale Q^t tempori afcenlus perAM; fi- miiique modo tempus afcenfus per AN tempori de(~cenfus per NA.

Corollarium 4.

151. Corpus in arcu AN afcendens ad pun- iflum N vsquc perueniet, quod aeque altum eft ac pundum M, ex quo erat delapfum. Sequi- tur lioc ex eo , quod celeritas per altitudinem tantum determinetur.

Co-

SVPER DATA LINEA IK VACVO. 6j Corollarium 5.

152. Si curua AN fimilis et aeqiialis fiierit curuae AM, tum motus per AN aequalis erit inotui per AM. Quare omnes afceriCus et de- fcenfus aequalibus fient temporibus.

Corollariam 6-

153. Si curuae MA, AN fuerint dKTimiles , tempus faltem per MAN aequale erit tempori per NAM, feu tempora acceffionum et receflio- num eruiit inter fe aequalia.

Corollarium 7.

154. Quia corpiis femper ad eandem aititu- dinem pertinget, manifeftum e(l hunc motum o- fciilatorium perpetuo durare debere.

Corollarium g.

155. Curua ergo ad motum ofcillatorium producendum apta eft omnis curua , quae de pundlo infimo A duos habet arcus afcendentes j ■vt MAN.

Scholion i.

156^. Expofuimus hic proprietates motus o- fcillatorii, quales ex expofita hypotheli poten- tiae foUicitantis vniformis et perpetuo deorfum tendentis confequuntur. Eaedem vero quoque locum habent , fi potentia vtcunque ab altitudi- ne pendeat, vel etiam ad fixum pundom diri- gatur; id quod in fequentibus plenius apparebit. In medio refiftente vero res aliter fe habet j

I 2. nam

iJ8 CAFFT SECFND. DE MOTF PFNCTl

nam neque afcenfus per datam curuam fimilis e(l dercenfai per eandenn, neque in afcenfu corpus ad aequalem altitudinem pertingic eij ex qua de.- fcenfu erat dekpfum.

SchoIicHi 2*

157. Vocari foiet motus per MAN itus fc" quens MQVO motus per NAM reditus , coailftie crgo motus ofciiiatarius ex alternis itibus et re- ditibus. Orciiiatio vero ab aliis vocatur motus ex itu et reditu conftans , ab aliis tam itus quam reditus ofcillatio vocatur. Hic priori lenfu ofcil- lationis vocem accipiemus, ita vt vna ofcilla- tio ex vno itu vnoque reditu conftet. Itus ve- ro atque reditus vterque vno afcenfu vnoque de- fcenfu confirtit, atque ideo integra ofcillatio du- os afcenfus duosque defcenfus compledetur. Cum igitur tempus itus aequaie fit reditus tempori ^ erit tempus vnius ofcillationis duplo maius quam tempus vnius itus feu reditus.

Corollariiim 9.

158. In hoc ergo eapitej in quo dc moti3i iji vacuo agitur, fi motum ofcillatoriiim exami- Bare velimuSj vel afcenfus vel defcenfus foios fu- per duabu& curuae partibus AMj AN confidera.- re opu^s habebimus.

Scholion z.

i5'9. Nihil reftrt vtrtun arcus AM et AN vnam curuam continuam. eonllituant, an ver€> iint diuerfae curuaej dummodo in A ita fint

coa-

SVPER DATA LINEA IN VACVO. 6^

coniundae, vt communem habeant tangentem % alias cnim motus perturbaretur. Quare ad mo- tum ofcillatorium inquirendum tantum opus eft, vt motus iiiper curuis AM et AN feorfum de- finiama^. Sutficit enim hoc tum ad ofcillationes determiii mdas, tum ad relationem inter maiores minoresque ofcillationes inueniendam. Vocan- tur autem eae ofcilktiones maiores , quae maiori- bus arcubus abfoluuntur^ minores veroj quae mi- noribus.

Scholion 4.

160' Ex Prop. 6. §. 49. perfpicitur j quo» modo ofcitlationes ope pendulorum efRci queant^ fcilicet ope euolutae curuaram AM et AN, cir- cum quas filum circumducitur. Ab Hugenio et- iam ifte penduiorum vfus ad ofcillationes ac» commodatur, vt vel ex eius indituto , quo eo motu ad horologia perficienda vtitur apparet. Eaedem vero difficultates , quas loco cit. com- memorauimus , hic locum habent, Quamobrem motum pundi fuper datis lineis hic tantum in- ueiligabimus, mentemque ab omnibus pendulorum circumftantiis abducemus, quae noftrum inftitutum tuibare polTent.

PROPOSITIO 15.

Problema» t^^ ¥,

161. Exiflente potentia foUidtante miformi et deorftm diredtaj determinare tempus afcenfus feu de- jcenfus per qimnds circuli arcum E A in puncio cir- culi infimo A terminatunh

I 3 So»

Fig. 3.

70 CAFFT SECVNE. BE MOTV FFNCTl

Solutio.

Sit C circiili centrum, erit CA radius vertica- lis feu parallelus diredioiii potentiae g. Ponatur ACin^, et arcus AE altitudo AG~i' , erit cele- ritas in infimo pundo A debita altitudini gb^ quia corpus ex E defcendens tantam habebit cele- ritatem , cum in A peruenerir. Atque tantam ce- leritatem corpus in A habere dcbet, vt ad E vs- que afcendcre poffit. Conlideretur quodvis arcus AE elementum Mm, et dicatur APzn.r, erit PM

zizV (^ax—x^) et Mm —;^jYfx^^y Celeritas ve- ro in M erit debita altitudini^. GP— ^"/^— ^^r.fps). Tempus igitur, quo elementum Mm £ue afcenfu

fiue dercenlu percurritur, erit zr v?I&=ilT^-=^)» Quod quia integrari non poteft per leries eius integrale exprimemus, Eft autem pofito zazziCf

J -5

A/{b—x)[2ax-x'') — V&cV^'^ ~~l~ 2bc "^ Sb^^b^

-+- -^"^Tfb^c^ — -H etc. ). Hoc ergo per

^ multiplicatum et integratum dat tempus, qu0 arcus A M abfoiuitur = ^" ( i + "-^ -4-

^ob^c^ ~T~ "fi 2b^c^' -h etc). 10-

tum vero tempus per arcum EA prodibit , fifiat x:zzh j et ratio perifpheriae ad diametrum = 7r:i.

quo pofico habebitur, tI^ (iH-g^-l-Tffl.-f-etc.)

'" 2it~ (^ H~:^ + dT^ + ttc). Vbi coefficien-

tes

SVPFR BATA LINEA m VACVO. rt

tes ij ^} -Q7f etc. fuiit qiiadrata coefficientium i, i? ¥ q^^i proaeunr fi (j— js;)"^ ^^"^ feriem refolui- tur. Ex hac igitur ferie tenipus ^^ero proxime pQteft inueniri. Q; E. I.

Corollarium i,

162. Qiio maior igitur arcu^ EA eflj eo ma- ius qiioqiie erit tcmpus, quo is percurritur. Fit enim pofito /?~2^7~6*j tempus infiniturn •, quia corpus defcenfu fenucirculum nequaquam defcribe- re poteH:.

Coroilarium 2.

153. Si igitur corpus ofcillatorio motu mo- uetur in arcu circnii EAF, erit tempus vnius itus vel reditus dupio maius , quam tempus vnius afcenfus vel defcenfus , quia tempus per ANF aequale efl tempori per AMG. Quarc vnius itus reditusve tempuSj feu tem,pujs dimidiae o- fciliationis erit-^'(i4-|-c-+-|?^'-Hetc.). Jn- tegra vero ofcillatio tempore dupio maiore ab- foiuetur.

Scholion !•

16/^. Series iiaec tempiis exprimens ftatim hoc modo poteil: inueniri. Temporis elementum

in lios fadores refoiuatur Vfi(6x-r^) ^ v(^g— ;c) ^"^^" rumque poderior tantum in feriem commutetut fciiicet iianc -- -f- ■—f, -+~ ii^^c -H etc.pofito nazc Quia autem poflintegrationemfit x~b critf^j^^^r^^

fi CAPVT sicvnD. m motv prNCTi

- — '^J J ^ibx—x^) — 2, ? J^^ibx—x^) — 2.4- 3 i ifix~x*)

""" 27t^~' ^^^' E^ qiiibus totum defcendis tem- pus vt ante coiligitur rz ^ (i^~_^|^^^ jj^-f-etc).

Scholion 2.

165, Quo r.ppareat a cuiusnam aeqiiationis conftrudione fummatio feriei i -{- i^ -f- f~¥ H-

b tt , T" ^

€tc. pendeat, pono - :zz 7^-^^ et lummam feriei

iz: r ^ denotante e numerumj cuius Jog. eft n^ I. His pofitis ex mea feries fummandi metiio- do in Coir.ment. Acad. Petrop. Tom. VII. ex* pofita inuenitur fequens aequatio ^^+——1--—^, Ex qua aequatione j fi conftrui pofret; inuenire- tutj q\n t j indeqne ipdi fumma per t feo per - Qiiia autem aequatio conflrudlionem non admit- tit in fe fpedata, apparet eam tamen conthui polTe 5 quia fumma feriei per tempora in circu- io ope quadraturarum affignari poteil. Data e- nim fomma feriei ex ea conftruAio aequationis inueatae fequitur.

Corollarium 5.

%66, Si arcus AEj in quo defcenfus rel a- icenfus abfolvitur , ponitur infinite paruus , tem- pus per eum tamen non fit infinite paruum. Eua- nefcit enim m exprefiione temporis tantum b^ eritque tempus defcenfus vel afcenfus per arcum

AJE euanefcentem zzz \^.

Co»

SVPER BATA LinEA IN VACVQ, 75 Corollarlum 4.

167. lunda altera circuli parte AF cum AE ofcillationes per arcum EAF euanefcentem fient infinite paruae, tempore tamen abfoluentur fini- to. Scilicet tempus vnius itus vel reditus feu tempus vnius dimidiae ofcillationis erit zz: V^"

Corollarium ^.

idS. Tempora igitur liuiusmodi orcillatio- mim infinite paruarum funt in ratione fubdupli- (cata compofita ex dii^eda radiorum et recipro- ca potcntiarum foilicitantium.

idp. Haec eadem valent, li potentia folli- citans non fuerit vniformis. Nam vtcunque va- riabilis ponatur, tamen , dum in corpus fuper arcu infinite paruo motum agit, conftantem ha- bebit valorem.

CoroUarium 7.

170. Intelligitur, etiamli curua EAF non fuerit circulus fed curua quaecunque, tum etiam quae hic allata funt ad ofcillationes infinite paruas fu- per hac curua pertinere. Tum vero loco radii a radius ofculi huius curuae in pundo infimo A efl: accipiendus.

Corollarium g^

171. Huiusmodi ofcillationes fupt^r arcu in- finite paruo EAF efficiuntur ope penduli, cuius longitudo eft radius AC. Tempora igitur ofcil-

Tomo IL K latio-

i^ CAPFT SECFND. DE MOTU PFNCTI

lationum infinite paruarum pendulorum funt di- retfle Yt radix qiadrata ex longitudine penduli et reciproce vt radix quadrata ex potentia. foi- licitanteo

CoroIIarium 9^

172. Si curua ANF non fuerit aequalis cur- iiae AME pra ofcillationibus infinite paruis ra- dium ofculi in A tantum confiderare fufiicit. Sit is — cLCnt tempu& afcenfus perarcum AF infinite paruum ±1 ^^^ atque cum tempus defcenfus per arcum AME euanefcentem fit '^^^^ erit tempus TOius itus feu dimidiae ofcillationis fuper curua compofita EAE —, — |^^-l

Corollarium ro*

17^. Si ofcillationes non fuerint infinite par- ifae fuper circulo BAD, tempora ofcillationum maiora erunt j quo maiore& fint ofcillationum arcus. Atque fi ofcillationes tamen fint valde paruae ,, erit tempus talis ofcillationia ad tempus ofciliationis infinite paruae vt quadruplum diame- tri circuli finu verfo arcus percurfr audum ad ^uadruplum diametri ipfumo.

Corollarium ir.

174. Altitudo ex qua corpus eodem tem- pore ab eadem potentia g foiiicitatum deCcenditjj ^UO' fit defcenfus- per areum EMA infinite par- wm efl: — \^-, feu eft ad odauam radii partera ift quadratum peripheriae circuli ad quadratunfi

dia--

SVTET. DATA LINEA IH VACrO. 75 diametri; quam proxime ergo haec akitudo erit

zizl a.

Corollarium 12.

175. Super cliorda autem arcus EMA cor- pus defcendit teiripore eodem, quo per diame- trum circuli (102). Qiiare tempus defcenfus fu- per cliorda infinite parua eft ad tempus defcen» fus fuper arcu refpondente vt ^^^ ad "^^ i. e^ vt diameter ad quartam peripheriae partcm, At- que tempus defcenfus ex diamctro feu dupla pen- duli longitudine eft ad tempus vnius integrae o- fcillationis infinite paruae ex itu et reditu coiH'-^ pofitae Tt diamcter ad peripheriam*

Scholion 5,

i^d". Si duo arcus circulares AE et FA fu- '^«J?^^» ^^ per quibus coniundis ofcillationes peraguntur non funt aequales, ope penduli hae ofcillationes con- fici poflunt , fi in centro K arcus AF clauus in- figaturj vt filum CA ? pollquam arcum EA cir-' ca centrum C defcripfit, in K retineatur et cir- ca centrum K arcum AF defcribat.

PROPOSITIO 19.

Problema.

177. Data potentia Jolllcitante inumre longitU'» iinem pendiiU infinite partias ofcillationes conficientis^ quod Jln^ulos itus reditusue vno minuto fecundo nb'

K 2 5o

75 CAPUT SECFND. DE MOTV PFNCTI

Exidcnte a longitudioe penduli quaefita et g potentia foilicitintej vnitate vim gravitatis de- notante , efl tempds vnuis dimidiae ofcillationis

infinite pariiae =: --^^. Haec vero expreffio vt in minutis fecundis habeatur, longitado ^ in par- tibus milledmis pedis Rlienani eft exprimenda^ ct formula ^^ per 250 diuidenda, vt ex pri- mo Libro apparet. Q^iamobrem habebitur tem- pus vnius dimidiae olciiiationis zz oY^-g mmut» fec. Quarej cum hoc tempus vnum minutum fe- cundum effe debeat, erit i(V iaz=.i$oV g^ atque azz.'^~i-~—'^i66l^g. part. mili. pedis Rhen. Haec crgo eft longitudo penduli femiofcillationes VTO minuto feeundo abfoiuentis. Q; E, L

Corollarium i*

178. Longitudines ergo pendulorum eodenn tempore ofcillationes peragentium, fed a diuerfis potentiis folUcitatorumj fuiic in ipfarum potentia* jum ratione.

Corollarium 2.

179. Si potentia foiiicitans g aequalis efl vi grauitatis i , qui cafus in ofciliationes in fuperfi- ftsperficie terrae fadas competit , erit pendulilon* gltudo, qiiod itus reditusque fmgulos vno minu- to- fecundo abfoiuit~3, 1662$ pedum Rhena»».. feu trium pedum cum fexta pedis parte.

SVPER DATA LINEA IN VACVO. 77

iion. T.

180. Apprime conueiiit haec longitudo ciim ca , quam Hugenius per experimenta inyenitj ex quo apparet iios in praecedente libro numerum 15615. fcrup. ped. Rhen. rede pro altitudine,ex qua corpus yi grauitatis foliicitatum tempore v- nius minuti fecundi delabitur , afrumiifTe', ex hoc enim numero fluit numerus 250, per quem tem- porum exprelfiones dividi debent, vt minuta fe- cunda praebeant. Cum igitur Hugenius longito- dinis 3, 166. ped. tertiam partem pro pede v- niuerfali haberi velit , quippe cuius longitudo vbi- que terrarum per obferuationes potefl determi- mv\: continebit hic pes vniuerfalis io55 partes inillelimas pedis Rhenani.

Scbolion 2*

181. Obfcruationibus vero hic pcs viiiuerfa- lis fequenti modo commodiifime determinaturr Sumatur pendulum longitudinis/, quod ad mini- mas ofciliationes faciendas impellatur , numeren- turque eius dimidiae ofcillationes tempore vnius horae, earumque numerus fit. riy ita vt vna femi- ofciliatio abfoluatur teroporev"-^ min. fecund» Sit iam longitudo penduli femiofcillationes mi- Butis fecundis abfoluentis js. Qaare cum tempora Gfcillationum diuerforum pendulorum ab eadem potentia follicitatorum fint in fubdupljcata ratione

pendulorum(i7i.)j erit^— ; i — |//; y z idecM-^

li 3 f^«

Y^ CAPFT SECFND, DE MOTF TnsICTI que z = r2^6oooQ ctconfequenter pes Yniuerfalis:^:

nH

38880000"

Corollarium 5.

182. Pendulum igitur quadruplo longius quam 3155^ fcrup. pedis Rlienani femiofcillationes du- obus minutis fecundis abfoluet ; quia tempora o» fcillationum funt in fubduplicata rationc iongitudi- lium pendulorum.

Corollarium 4.

1S3. Cum femidiameter telluris fit 20382230 ped. Rhen. fi tantae longitudinis pendulum conci- piatur, durabit eius vna femiofcillatio 2536^ min. fecunda. Qiiare in horis 24. prope 17 ofcillatio- nes integras abfoluet.

Corollarium 5,

185. Quia tempus dimidiae ofcillationis eft

^^^, erit tempus integrae ofcillationis -^Tp-^ At huic tempori aequale eft tempus reuolutionis in peripheria circuli radii a a corpore motu libe- ro pera<flae , quod ad centrum circuli vrgetur vi zzg-, vt ex praeced. Libro apparet. Hanc ob rem tcmpus vnius ofcillationis integrae penduli femi- diametro terrae aequalis aequatur tempori , quo corpus proiecftum in fuperficie terrae vnam re- uolutionem perageret. Oftendit vero quoque Huge- nius corpus hoc modo motum tempore 24. ho- xarum fere 17 reuolutiones effe abfoluturum.

SFPER DATA LINEA IN rACVO. 79 Corollarium 6.

iS^". Cum vis grauitatis fit ad vim qua cor- piis iii fuperficie folis ad centrum folis vrgetur ^ vt 1000 ad 41 j ^^^^ longitudo penduli , quod in fuperficie folis femiorcillationes minuto fecundo abfoluit nr 77 , ^26 ped. Rhenan. Simili modo ob gniuitatem in fuperficie Iouisz:i-|^|, tale peni- dulum longum erit 6, 44.8 ped. Atque in fuper- ficie Saturni ob grauitatem zzz -^7 talis penduli iongitudo erit 4, 054 ped.

PROPOSITIO 20^ Problema.

1S7, Si fuerit curua BAD^ fuper qua fiunt '^^^^lJ^" GfciUationes^ cjclois circulo diametri ACfuper bafiho- rizontali BD defripta\ determinare tempus ojcillatiO'' nis per quemque arcum EAF, exifiente potentia Jolli- citante uniformi et deorfum tendente.

Solutio-

Sit radius ofculi in A nempe AOz=^> qui efl duplum diametri circuli generatoris AC , erit er- go KCzn^a et pofita abfciffa APnir, et arcu re- fpondente AM=:J, erit ex natura cjrcloidis j* = zax. Sit iam abfcifTa arcui EAE, qui motu; o- lcillatorio percurritur , refpondens AQz=:by erit celeritas in pundo infimo A debita altitudini ^^y et celeritas in M debita altitudini g {b—x). Qua-

re cum fit ds~^^ erit tempus, q^uo arcus AM

:fo CJFFT SECFND. DE MOTF FFNCTI

percurritur ~j o vg(&x-x^")— fvg -^ v~(&^^7)- -^^t Tcro fi poft integrationem ponatus xzmbj quo tempus per

totum arcum AE prodeat, /y,^— ^3 zr tt , feii pe* ripheria circuli per diametrum diuifa. Qiiare tem- pus vnfus afcenfus vel defcenHis efl:~-yy^j et tem- pus vnius itus vel reditus per arcum EAF erit =; "^^-^. Atque tempus vnius integras ofcillationis tritzi:^. Q E. I.

Corollarium i,

18B. Qina in hanc temporis expreflionem iittera ^, quae qunntitatem arcus EAF determinat, non ingreditur, omnium ofciliationum tempora, quae fuper eadem cycloide perficiuntur , funt in- ter fe aequalia.

Corollarium 2.

189. Tempus ergo vnius cuiusque ofcillationis erit aequale tempori ofcillationis per arcukim infi- nite paruum. At arculus infinite paruus congruit [ cum arculo circuli radio OA defcripti. Qiiare tem- pus cuiusque ofciliationis fuper cycioide BAD aequale erit tempori, quo pendukim longitudinis a ofcillationem minimam abfoluit. Id quodetiamex praccedente Propof. elucet, tempus enim minimae

. ofcillationis penduH a t{izz:~Jj^ (i6"7.); q"a ea- - dem formula tempus vnius ofciliationis integrae fuper cycloide expreflum inuenimus.

SFFm BATA LMEA IK VACVO. ^i Corollarium 5.

190. Si igitur penduliim ita adaptetur, vt corpus orcillans iii cycloide moueatur \ omnes eius ofciilationes fiue fuerint magnae iiue paruae aequalibus abfoluentur temporibus. Quare fi AO fuerit := ^i.66^g fcrup. pedis Rhen. fmguiae femi- ofcillationes minuto fecundb abfoiuentur^

Corollarium 4,

ipi. Omnes igitur defcenfus fuper cycloide ad pundum infimum A funt aequitemporanei fea ifochroni; item omnes afcenfus ex pundo in- iimo A donec celeritas fuerit abfumta. Tefnpus •vero vnius afcenfus vel defcenfus eft \^.

Scholion L

192. Propter hanc proprietatem cyclois tau- tochronae nomine appellari folet , quia omnes ofciliationes fuper ea eodem tempore abfoluuntur. Hugenius primus hanc eximiam cycloidis proprie- tatem detexit , (tatimque cogitauit de cycloidc in 1-Ocum circuli fubftituenda in o(cillationibus , id quod in horologiis effecit. Nunc tamen ho- rologiorum artifices hunc ofcillandi modum rur- fus deferuerunt, quod eius vfum nimis exiguum comperuerint. Atque certe in vacuo quaelibet cisrua ofcillationes ifochronas producit, quia per- petuo eiusdem magnitudinis exiftunt. In medio refiftente vero , quo ofciilationes decrefcunt, cj- Tom.lL L clois

&I CAPFT SECFND.. DE^ MOTF PFNCTl

clois hanc proprietateiti amittit^f . ideaque nullius €(l vtilitatis,.

Scholion 2^

Tabula V^ -3

Fig. a^ ip^^. Inteiligitur etiam^ li daac cjcloides AE

et AF diffi.miies in pundlis iniimis: iungantur, o- fciilationes fuper curua compofita EAF; aequall- bus temporibu& abfolui. Nam cum (uper ytni- que tempora afcenTus vel defcenfus ftnt conftan- tis quantitatis 5 etiam fumtraae eorum nempe tcm- pora femiokillationum et integrarum oicillationum- interfeeruntaeqaalio. Sit duplum diametri circuli generantis cycloidem AF ~ ct erit tempus vnius as-

cenfus vei defcenfus fuper AF=:^^. Quare itus reditusve fuper curva compofita EAF abfoluetur tempore — '~/~^^^y integra vero ofcillatio tem-

j^^ ^ 2 TT ( Va-f-Va)

poie ^— .- _ -.

Scholioo ,^^

194. Ordo requireret y vt antequam ad aliag jotentiae foliicitantis dirediones progrediamur , efFedos potentiae j cuius direcfliones fmt adhuc parailelaej fed variabiles euolueremus, motumque corporis a liuiusmodi potentia folMcitati fuper diita curua imieiligaremus.. Sed cum exempla mo- tum notatu dignum continentia nobis adliuc late- ant , atque principia, quorum ope motus fuper quaque curoa cognofciturj iam fmt expoiita,. pler Biarem tradatioiiem: ea differemus,/ vbi curuas

fiimus

SFPER BATA LINEA' IN VACVO, H

fumus inueftigaturi, fuper quibns corpus a huiuS' jnodi poteiitiis foliicitatum, data l^gc incedat»

PROPOSITIO 21.

. . i^j6, Sl corpus perpetuo '^i ■quacmquc nd ten- Tatuia v# trum fixiim C trahatur^ atque Juper data curua AM ^^* moueatur-^ determimre juotum eorporis fuper hac ii- mea , et preJJIonem , quam €urua in /mguUs punUis

Sit corporis ceieritas initlalis in A debita altitudini i?, et pundi A a centro C diftantia AQ —ii. Ceieritas vero corporis in quocunque cur- Mae loco M debita fit altitudini i;, et Tis , qua corpus in M verfus C foliicitatur fit zz: P, cxiden- te vi grauitatis corporis niotii± i. Dicatur di- ilantia MC, j^, et arcusAM, s -, erit,eiemen- tum Mmzzds et Mjrzz—dj. Centro C defcriban^ tur arcus circulares MP, mp\ erit AVziz/i—j , Vp zzzM.nziz—dj^ lam duda tangente MT m eam- que perpendiculo CT , erit MC: MT-zMm: Mn-^ €t MC: CTzzM?;/: mn, vnde erit MT-zz-^ et CT ziz ^—^^P~^, Ex quibus, fi vis centripetain tangentiaiem fecundum MT et oormalem iecun- dum MO refolvatur, erit vis tangentialiszz;— y et normalis =z ^^ -^. Ex vi tangentiali ergo ir dn^ ■zz.—Vdy. Ponatur interuallum AP

54. CAPFT SECFND. BE MOTF PFNCTl

z:rXj quo corpns propius ad centrum acceflit, erit a—yznxQtdxziz — dj, Qiiare erit ^i' nzPr/x, et fi P a didantia MC pendeat , poterit' /P^.r exhiberi. Ita igitur integrali jVdx accepto, ^t euanefcat pofito .rzi: o, erit v~b-\-f?dx, Ex quo teinpus per arcum AM erit iii f-^f^—jj^). Vis

normalis ^^ ^7"' ^^^^^ i^^ preiTione curuae fe- cundum MO inlbmitur. Qlio igitur haec com- modius exponatur et cum vi centrifuga fimul ex- hibeatur, pono perpendicubjm CTrz^, erit \is normalis zz:^. Deinde radius ofculi MO erir — •^— , ex quo habetur vis centrifuga zz ^—^ —zn

"'^'^ yiy ^ y cuius efFedus effedui vis normalis eft contrarius. Qiiamobrem curua in M verfus MO premetur vi ^ £ffc|^gzilM££f. q. e. I.

Corollarlum i.

1^6, Si igitur vis P a diftantia j tantnm pcndeat, ita vt corpus in aequalibus a centro di- flantiis aequaliter vrgeatur , celeritas corporis a diflantia quoque tantum pendebit,atquecorpus fuper curua AM motum in aequalibus a centro diftaii- tiis aequales liabcbit celeritates.

CorollariiiiTi 2-

X97. Atque in quouis pundo M ceferitas tanta erit, quancjm idem corpus acquireret, fi cadem cekritate initiali VI; ex A per iiiterual-

luni

SUPER DATA LINEA J-^ VACVO. S<

lum AP dcfcenderet , exiftcmc ^-^jrnm CV

CM. ^^ "^

CoroUarium 5.

198. Etiamfi igitur ipfa curua AMifitincO' gnitaj tamen corporis fuper ea moti in quaque a ccntro C dillantia celeritas potefl: alfignari. Eft nempe pro dillantia j/, vzn b -{-J^dx^ exiftente

Corollarium 4.

199. 51 curua AM fuerit talis , vt prefHo^ quam corpus in eam exercet, fit nulla, erit cur- ua ea ipfa, quam corpus motum in A celeritate Vb inchoans libere defcriberet, Erit itaque pra motu libero Vpdy ziz zbdp-^- idpfVdx, feu ob^.rzz: ^dy^ liabebitur Vpdy-i- 2 dpjV djzizzb dp. Cuius integraiis eft p^jV dyznbp* — bh"^ exiftente h per* pendicuJo ex C in tangentem in A demiflb^

Ex his aequationibus invenitur Pir: ^i^^uti pra©- ced. Libro pro motu libero inuenimus,

Corollarium 5.

100. In motu igitur fuper quacunquc curua AM, preffiOj quam curua in M fecundum MO

niiiinec , eu — ~- -^^ — _ ■^i^zi^ —

iiff, p ^v

Exemplum i.

£Oi. Sit curua A M xirculus ccntrum fn C habensj eric motus corporis ^niform.is ^ propter

L 3 €aa-

tgCAPVT SECF^^D- DE MOTF PFNCTL '

j ^:.,c — Apetno a centro virium C diflan- ^x^.a.. ^Kiare ent vzi:b ezJVax zz.€ ^ atque tem-

pus per AM~>y^zir;^. Deinde com fit j " ^ tritetp^zza et ^p zzzdy. Quamobrem preflio , quam curua iecundiim MO leii verfus centrum C fuilinet, prodibit mP — ^. Ex quo perfpicitur ^ £ fuerit bzn'^ corpus libere per hunc circulum motum irio

Exemplum 2«

20 2« Sit Yis centripeta P poteftati cniciiii-

f que diftatitiarum y proportionalis feu P "^ 7^ et

curua AM fpiralis logarithmica circa centrum C, ita vt fit pznmy^ et dpziz m dy^ atque ds z= :^~^),

■y.(n-\- I ) f^ atquc tempus per arcum AM r= — 77 i-^

y ( I —m )

f dy .___

J j/ (^n^,;_^nH-i _|^(;2_^i>)^yTy I^f effio Ycro, quam

curua fecundum MO fuftinet , crlt — — ^^ /-

2;;;^ zmti'^'^'^

J in-\-i)fy

Co^

SFPER DATA LINEA IK VACVO. a^ Corollarium 6.

203. Corpus- igitiir cum in centrum C per- tenerit, celeritatem habebit finitam, fi /24- i efl niimerus afHrmatiuuSy altitudo enim ifti celerita-

ti dcbita eft ^^^^.rn + ^- At fi n-^ i eft nu« .

merus negatiuus vei etiam zna' celeritas corporis iri C erit inlSnite magna.

Corollarium 7.

204. In ipfo vero centro corpus vi infi- nita premetur diredione a centra tendente^ feuii vis centrifuga praeualebit ,: fi fuerit //5> — 3. At fi /^ < — 3 , tuoc vis normalis praevalebit, atque curua vi infinita. verfiis centrum premetur.

PROPOSITIO 22.< Problema.

20 5r- St corpuf perpetm m centripeta ai cen- Tabura' vr,. trum vlrium C trahatur , dataque Jit curua EAF ad ofciliandum idonea , determinare motum ojcillatori'^ um corporis Juper hac curua^

Sit vis centripeta fundioni cuicunque diflan- tiarum a centro C proportionalis-, crit celeritaS' corporis in aequalibus a centro C diftantiis, vt M et N, cadem. In E vero et F ceieritas cor- pon& fit nulia^ maxima. vero erit in

U CAPFT SECFKD. DE MOTV PFNCTI

curuae A centro C proximo, ducaturqiie reda CAO. Corpus ergo per arcum EAF ofcillatio- iies abfoluet, ad quas definiendas motum corpo- ris (uper Ytraque curua AE et AF inueftigare fuf- iicit. Sit celeritas corporis maxima, quam ha- bet in A debita altitudini b) et celeritas in quo- cunque pundo M debita altitudini i?. Ponatur dillantia CM; cui aequalis fit CP,:zijj', et vis cen- tripeta in M:z:.P. Sit CA~^ et APzza:, atque AGz=:ky fumta CGmCE , Grit y-a-i-x et CG zzzCEzna-i-h Pofito arcu AMzzx, erit tangens MC , quam perpendiculum ex C in eam demif- fum determinat iz.^-j^, ideoque vis tangentialis zz ^^, quae motui corporis crefcente J efl: cGntra- ria : vnde habebitur clvziz-Vdj ziz~ Vdx Qt v zzb -fVdx \ integrali /P/^/a; ita accepto, vt euanefeat pofito xz:z.o. Si igitur ponatur vzz:.o , dabit ex aequatione b~fVdx valor ipfius x erutus inter- uallum AG feu k. Tempus ergo, quo arcus AM percurritur, eft —f^^^jp^-^ ex quo tempus per totum arcum AE prodibit, fi poft integrationem ita inflitutam , vt integrale euanefcat pofito xzi:^ kj {qu f?dx — b, Simili modo tempus per ar- ' cum AF inuenietur, quo igitur inuento fumma horum temporum dabit tempus vnius femiofcilla- tionis. Q. E. I.

Corollarium i.

S.06. Si curua AF fimiiis et aequalis fuerit curuae AE tempora per vtramque erunt aequa-

iia ,

SVPER DATA LINEA IN VACVO. 89

lia , atque ideo tempus vnius femiofcillationi^ aequabitur duplo tempori per AE.

Exemplum i.

207. Si arcus E AF fuerit infinite paruus , potentia follicitans P ob diftantiam a centro E inuariabilem, erit conftans zzig. Sit radius ofcu- li curuae in A feu AO — h , erit AE arcus cir- cuii hoc radio defcriptus. At ex natura circuli

erit CT = ^^^^^ et MT =3=

et X refpedu a et ^ infinite paruum erit MT ~

:L^^ et ds

hydy h ( a^x ) d x

jy CC «J ^ 2iahx\a-i-b) V 2 cg;c (c-f-fe ) ■ —

^M^hj^' At cum fit v—b^gx, ideoque ^ — gk', habebimus v zz: g {k— x) atque elementum

.^ . dxy/ah * /- dx ^

temporis = v^^^fo) {kx—x^)' At jy^^^^ polito .Y n: /fe fit zz TT peripheriae circuli exiftente diametro I. Confequenter tempus per arcum AE infinite

n , -Tr^/ab TT -yj 2 ah

paruum eit — yi^GH-fo) — 2V£Kfl-4-&J*

Coroilarium 2.

208. Si centrum virium infinite diftet , vt elfet <^ — co erit potentiae diredio fibi parallela, ideoque vt fupra erit tempus, quo arcus AE ab- foluitur zn ^^. At fi arcus circuli EA fit linea reda , feu ^ zz oo , erit tempus per EA zz: ^^. Tom, 11. M Co»

90 CjIPFT secvnd. de motu fvkcti Coroilarium 5,

209. Si ergo hic cafus comparetur cnm ofcil^ latiombas pendoli a potentia g quoque (ed dire- «ffciones fibi parallelas habeote IblliGitati , erit pcn- duli ifochroni longitudo nr ~^. Tempus eninfi vnius defcenfus {Qa afcenfus huius penduii eft zi:

^^/2 ah f /:/: \

Exemplum 2,

yjg,^, 210. ►Sit lam vis centnpeta poteitati cuicun-

que diftantiarum proportionalis feu Pnz*^^, et 11- Bea EF reaa. Erit AM =: ^ zi: y ( j* -^*) ef xzny—a. Erit autem porro x — ^— /— 7^ m ^ -4-

- f , -■ ^^ T^f— y pofitoque i7z=o fiet )''*•+- ^ znci!^^ + («-4-1) ^/«rr (^-+-i^) ^-^^ Vel didla CE =: # erit if zz. — ~ —7^^ — j tx v

Confequenter ob ds nr y^^i^:^^ habebitur tempus

pcr AM zzzf^^y^^^z^ -^^\ _^^n^y Qnod m-

tegrale ita eft accipiendum , \t fiat =: 0 pofito^ tz.a. Tumque fad:o y zz: c habebitur tempus p^r lineam EA. Semiofeillatio vero feu motus per EAF aequabitur dupio huius temporis.

SVFER DATA LINEA IK VACVO. pt Corollarium 4..

211. Ponatur vis centripeta diftantils pro« portionalis feu «=i erit tempus per AM ~=z:

/v^f^^ ^e^ Pofito AE-i ob e'~a*-^ i^ et jK*:==^* -4--^^ erit tempus per AM — /y-^f^j

vnde tempus per AE erit rz —^. Omnes igitur ofcillationes fuper hac reda abfoluuntur eodem tempore , dimidia nimirum ofciilatio temporc fiV 2.f conficietur.

CoroUarium ^r.

212' Si ofcillatio eO: infiaite parua, tempus vnius remiofcillationis fuper redla erit quoque TrVs/, at cum vis centripeta tum vt conftans confiderari polTit, fit ea zz:^, erit —^—g, ideo-

que tempus vnius femiofciilationis zz ^^^^ vt fu- pra §. 20 S.

Corollarium 6-

213. Quia dirediones grauitatis reuera con° Vergunt ad centrum terrae , corpus in fuperficie telluris fuper reda perfede horizontaii ofcillatio- nes peragere poflet , nifi refiftentia et fridiones impedirent. Tempus autem vnius femaofciiiatio- nis talis foret ( ob ^~femid. terrae et g^ i) 2537. minut. fecund. (183.)

2 PRO-

^a CAFVT SECmD. DE MOTV PVKCTI

PROPOSITIO 25.

Problema.

Vig*3, * ^^4* ^^ corpus follicitetur a duahus quihu^'

cunque potentiis , quariim alterius direciio fit verti^ calis MQ_, alterius horizontalis MP: definire motim €orporis ah ifiis mrihus joUicitati fuper data curua AMB.

Solutio-

Sit celeritas in B nuUa , in M debita alti- tudini 'V, Vis follicitans fecundum MQ_ ftt — F^ et ea fecundum MPznQ; Ponatur BR — /j H MiHjSf, arcus BM~w, quas litteras ad defcen- fum corporis ex quiete ex B adhibebimus. At pro afcenfu ex A quacunque cum celeritate ini- tiali , qui motus ad ofciilationes referetur , fitAF zizx — Q_Mj PMztAQ^zzij et arcus AMzzXj. celeritas vero corporis in A debita fit akitudini hy erit ergo t-\~xzzi zon^. item s+j n: conft. et 'zy-4-jszz conil. vnde dt-^-dxino et du^-\-d^ zzzo, Refolutis potentiis P et Q in normales et

tangentiales , erit vis tangentiahs ex r orta zz ^

ct vis normalis ex P orta :iz j~ trahens fecun- dum MN. Deinde erit vis tangentialis exQ^or-

ta =z j;^ et normalis ex Q_i=: ^'^ quae illi nor- inali eft contrariii. Vtraque vis tangentialis mo- fum per BM accelerat , ideoque erit dv rn P/l -i- (^dz^ Qt vzziJVdt -i-fQjIz his mtegralibus ita

SUFER BATA ttmA M VACVO/ 9$

acceptisj vt euanefcant fac^is / et zzrzo. Atque pro arcenfii ex A erit ^ — ^-/Pi.r-'/Qf/?', his in- tegralibns ita fumtis, Yt euanefcant pofitis x ct f zzo. Pofitis igitur in illa aequatione i> zz: fFdt ^fOJzj tz=:BD et js zn AD fiet vznb. Qua-

re tempus per BM erit =r j^^ij^^rj-od:^ et tem- pus per AM =^ fTr^jTd^ToJyr Snmto ekmen- to dt Ycl dx coniUnte eric radius ofculi curuae in Mz^dFTJii > a^"^ ^^^ centrifuga cuius diredio

fecundum MN eft — j^ . TotaIi§

ergo Yis, qua curua in M fecundum MN premi-

^ ?dz—CLd'i , ZdtddziJ^dt ^/gdgt) n t? T

tur eit :::i: — j^ r- dw^ ' ' s^ti^^i,

CoroUariuni l*

ai5. Si V eft fundio ipfius x vel /, quae- cunquc, et Q^ fundio ipfius J Yel s quaecunque ? tam Vdx quam Q,^/r integrari poterunt •, atque ideo celeritas v poterit exliiberi, et ope aequa- tionis pro curua tempus quoque.

Corollarium !♦

ai5. Quia quaecunque et quotcunque poteR- tiae follicitantes , fi modo earum dirediones fmt in eo plano , in quo eft curua AMB , m huius. modi duas potentias poiTunt refolui, baec pro^ pofitio latiflime patet et omnes cafus compledi- tur , quibus potentiarum direaiones et curua lunE in eodem plana.

^4 CAFUT SEa^ND. DE MOTV FUNCTI

Scholion^

217. Patet etiam haec propofitio latius , (l pauca adiiciantur, et comprehendit cafus , quibus non omnes potentiarum dirediones funt in pla- no curuae. Tum enim hae potentiae in binas funt refoluendae, quarum alterae fint in ipfo curuac plano , alterae ad hoc planum normales. Iliac igitur in plano curuae fitae eodem modo, quo ia propofitione vii fumus, tradatae dabunt accelera- tionem corporis et preflionem fecundum MN:al- terae potentiae , quia normales funt in curuam , in curua premenda tantum infumentur. Quare hinc duplex nafcetur preiTio, quam curua fuftinet, altera fecundum MN direda, alteraadplanum curuac normalis. Harum igitur duarumpreflionunijfimedia fum.atur diredlioprodibitdiredio potentiae aequiua- lentis, in quacuruapremitur. Qiiamobrem noneft o- pus, Tthuiusmodi cafus euoluamus, fed paucis attin- gemus motum corporum fuper curua , quae ipfa non eft in plano fita, vbi potentiam foliicitantem conftantcm et deorfum tendentem ponemus.

PROPOSITIO 24.

Problema.

TabuU VL 218. 'Exijlente potentia follicitantc miformi ^

Fig» 4, eiiisque dire&ione re&a deorfum tendente , determina- re motum corporis fuper curua quacunque A M non in eodem plano conjlituta.

5o-

SUFER DATA LINEA IN VACUO. 9$ Solutio.

Sit ciifua AQproiedio ceniae AM in phno horizontaii , demniisque ex pnndlis qurbusque pro- ximi^ M et m in Iioc planum perpendkuMs MQ^ £t m(j, ducantnr ad axem pro lubitu alTumium AP normales Q_P et ^p ', ponanturque AP~.r, PQznjTj et QMzziJS. Sis eorporis celeritas in A debita akitudini i»; celeritas in M debita altitu- dini V. Potentia vero {it zzg, qua Gorpus in M fecundum M Q roliicitatur. Duda tangente MT^ €t in eam ex Q_ perpendiculari QT , refoluatur potentia^ in tangentialem et normalem, Erit ob MQ_: ¥iT zzzV {dx''-^dy-\-dz'^}i dz\is tangentialis vf&T^^z^' Atque ob MQ:. QT=ry(^.r^-H ^f^^z'): Vidx-^dy^) Yis normaiis.zf|^-^^.j

Quia autem vis tangentialis motum retardat erit dvzz:-gdz et v~b-gZj ynde tempus, quo arcus AM abfoketur, prodit =3 /^^lf^^Ef^^^A Vis normalis vero efficiet , Tt curua m M a corpore tanta vi prematur iuxta diredionem ad M^^ nor- malem et in plano Q^Mra^ fjtam, Premitur ve- jo curua praeterea a vi centrifuga fecundom di- redionem pofitioni radii ofculi oppofitam vi -izz — =^— , deiignante r radium ofculi coruae in M. Inuenimus autem fupra §.71. pofitionem radii ofculi, ex qua proinde diredio vis cenrrifugae in- notefcit. Quantitas vero vis centrifugae dabitur ex ladio ofculi, qui §. 72. ell inuentus j eft ncmpe r::iz

9^ CAPUT SECUND. DE MOTU PUNCTI Corollarium i.

219. Celeritas igitiir corporis hoc qiioque cafii ab altitiidine tantum pendet. Atquc celeri- tas in M tanta eft, quantam corpus per QJ\l afcen- dens cum celeritate in Q altitudini b debua in M haberet.

Corollarium 2.

220. Non poterit ergo corpus ad maiorem

h

altitudinem afcendere , quam ad — . Nam fi eft b—gzzzo , corpus in ea altitudine omnem ceieri* tatem amifit, iterumque defcendet.

CoroUarium 5.

221. Intelligitur etiam, fi potentia non con^ ftans fuiflfet accepta , fed variabilisP; tum inuen- tam fuifTe ceiejritatem in M debitam altitudini b — f?dz,

Scholion i.

Tabuk VI 2 2 2. Si In plano verticali concipiatur curua

Fig. 5, AM ad axem horizontalem AQ^ relata-, fueritque AQincuruae AQ praec. Fig. et QM~ Q^^ praec. Fig. erit quoque curua AM aequalis curuae AM praec. Fig. Si iam corpus fuper curua AM afcen- dat celeritate initiali in A debita altitudini b, et ab eadem potentia^ follicitatum , habebit in M quo- que celeritatem altitudini b —gz debitam- Atque ideo tempus quoque afcenfus per AM congruet cum tempore afcenfus per A M in praeced. Fig. Hac igitur ratione motus corporis fuper curua non in eodem plano fita reduci potefl ad motum fuper

curua

SUPER BATA LINEA m VACUO^ pj

cnrua in eodem plano pofita. Inter inotus enim ipfos nuUum erit difcrimen; at prefriones, quas hiie duae curuae fufterunt , erunt diuerfae. Qiiam- obrem hoc modo prefTio vt libet poterit variari nianente motu corporis iuper curua eodem.

Scholion 2.

223. Pofuimus hadenus curuam? fuper qua corpus mouetur , et potentiam foUicitantem vna cum diredlione datas, ex iisque motum corporis et preffionem curuae deduximus. Nunc igitur cum liaec fufficere poflint , ad alias quaeftiones pro- grediemur , in quibus alia pro datis accipiuntur , reliquaque funt inuenienda. Et primo quidem da- ta lit preifio in fingulis curuae pun<flis et potcn- tia foliicitans*, ex quibus ipfa curua et motus fu- per ea debeat inueniri. Deinde aliis fadlis com- binationibus inter eas res , quae in computum ve«^ niunt ; alias quacftiones formabimus,

PROPOSITIO 2S.

224,. Si corpus a qnacunque m perpetuo ^f^or- Ta^"^* ^^^» fiim trahatur^ inuen/re curuajji AM, quam corpus fuper ea dejcendens ^hique aequaliter premit.

Solutio.

Sit AM curufl quaefita , dicatur fuper axc

•verticali abrcilTa AP =: x^ applicata P M — j et

curua AM =: /. Sit porro vis corpus in M fol-

jicirans c= P*, et aititudo debita celeritati in A::::^;

Tom. IL N erit

^8 CAFUT SECFND, DE MOTU PVNCTI

erit altitudo debita celeritati in M — b-i-fVdXi intcgrali/P^A; ita fumtOj vt euanefcat facto .rzz^» His pofitis erit preifio , quam curua fecundurn

normalem MN fuftinet (8 3)=^^ + ^^^fi^^,

fumto elemento dx pro conftante. lam cum haeC predio debeat efle conftans, ponatur ea zz; ^, erit h(ls'^zizVds^(ly-\-ibdxddy-{-2.dxd([yjYdx, At fi po- natur ds conftans, habebitur kd s dx —Vdxdy -\-ib

ddy-\-iddyjVdx y cuius integralis eft ^ ^^ ^ ^ ~

I^.bX-ji-dx) ' Qpae aequatio cum P per x detur ^ conftmi poteft, quia ^ in eam non ingrediturfecj tantum dj, Q. E. I.

Corollarium i.

S25. Exprimit /tI^p^j tempus , quo cor- pus ex A celeritate initiali eadem , qua per A M inouetur, per altitudinem AP deiabitur , et V{b-\-' fVdx dat celeritatem in eodem loco. Quare ce- 1 ritas haec in P per tempus per AP divifa , dat ^, ex qua proprietate curua AM determinatur.

Corollarium 2.

ii6, Tempus autem per AP quantitate con- flnnre quacunque puta Vc poteft augeri. Hacque quantitate conftante anguhis , quem curua in A cum AP conftjtuit , determinatur. Erit fcilicet fi- nus huius anguli zr ^ pofito finu toto =r i. Qua-

c maior non poteft accipi quam -^ > ideo*

qu€

V6) 2.j.

|2 &

SVPER BATA LINEA m VACVO, pp qne fi motiis in A a quiete incipit c debet Qf^Q

Exemplum.

227. Sit potentia vniformis feu Prr^ , erit

iib^gx) — g — ds '7 vn»

^e habetur g=|-t-j^'-f ] ^xc^n^ gdy V {b^gx) •z=.kdsV{b-\'gx) ^kds^Vc—yb), Ex qua orietur

j> ^' j kdx{-^(b-i-gx) -f-V<? — V5)

fequens aequatio ^J == v(^.(6_^.^) _ ^^v^^-^^^

Slt y (b-{-^x) — t Qt —Vc-^-Vbzirhy erit x

et dx =: —-. His igitur fubftitutio habebitur dyzn

^^(^^Z-tk^^ k m—k -jb^ j- Haec aequatio tribus cafibus integrationem admittit, quorum primus ell , ii k rz^J^tumenim inueniturcurua,quam corpus in Apro- iedum libere defcribit. Alter eft cafus , quando hzizOj feu yb—Vc, tum enim habetur £ zzz ~ 7 feu linea ^fatisfaciens erit reda inclinata. Si ter- tio kiizgj feu fi tota preffio aequatur vbique vi fol-

iicitanti corpus ^••, erit djj ^-^tx^jEfT"? ^"^"^ integralis eft gy = ^-^^^j^^-) y {^ht-F) -f- conll. Conftans haecj quia pofito xzzo {qxl t-znV b, fitj

rz^, debet effe - ^^^f^-^^ V{ihVb-F), Re- flituto ergo V(h~A-gx) loco t et pofito yb—Vc—

hzny a h:\bebitur ''■^^ziLih-\-gx--a-'V aih-^-gx^V^^iV a ih-\-gx)—a)-\-{ n—b-\-VabyV{ ^Vab—a). Qii a e e fl: a e q ua- tio pro curua quaefita, in qua a debet effe numerus

N 2 mi-

100 cafftsecfnd.be motf pfncti

minor quam B. Si corpus ex quiete cadere de- bet, alia linea praeter redam non fAtibfacit. De- bet enim eflfe czizo , vt angulus ad A iic realib, et propterea habetur jr~yTp^rj.

Corollarium 5.

22S. Aequatio algebraica inuenta, fl ab irra- tionalitate liberetur, fit ordinis quinti. Si ia ea ponatur aziib , quo cafu curuae tangens in A eft verticaiis; prodibit ^-~^ zzigx-V {a^-\-^ax)) y{2y{a*-i-gax)--a)-i-aya.

Corollarium 4.

S29. Si generaliter tangens in A debeat eflTc Tcrticaiis , erit Vc — Oy atque ideo prodibit i(!a

7 . kdx (V (h-i-g-x) — V6) c> '

aequatio dj ziz -^~r^^_^^'^fz.k- (v 6-t-gx}-v^>j')' Si tangens in A ponatur horizontalis erit kV c —gyb habe-

biturquehaec aequatio ^r^iT^W^^^xT^fkTiW^

Scholion.

230. Vocatur haec curua h*nea aequabilis pref- iionis, eiusque fohitio extat in Comment. Acad. Parif. quae cum hac noftra egregie coouenit. Ce- tcrum ex foiutione conftat, fi potentia non fuerit confl.ins, fed vtcunque variabiiis P, aequationem inuen.am nihilomiiius integrationem admittere, ft preffio in curuam ipfi P debeat efle proportiona- lij. Erit enim fc:/^P atque pro curua quaefita pTQ"

dibit

SFPER DATA LimA IN VACVO. lot

dibit rcquens aequatio ^*/»^!!^' ^ f,^^,-^, cu-

ius integralis eft dyV ( b-^-jVdx) zl. mds'V {b-\-f^flx)' -^-mdsV c. Haec aequatio, fj fueit c—o erit pro linea reda ad horizontem inclinata. At per V c definitur angulus> quem curua in A cum verticali conitituit, cius enim finus cft «2 + vi^. Quare fi fumatur V c zzz — V b curua tanget in A verti- calem. Praeterea haec curua hanc habet proprie- tatem, yt tempus, quo arcus AM percurritur pro- portionale fit m.AM — PM. Denique ex foiutio- ne huius propofitionis fluit folutio fequentis, in qua ex data curua et preifione aequabili quaeritur quantitas potenciae deoxfum tendentis.

PROPOSITIO 26. Problema.

£31. T>afn curua AM et celeritate inltiaU /Vi Taijjji^vij^ A dehlta altitiidim b, inuenire quantitatem potentiae P'S. ^» perpetuo deorfun tendentis , quae faciat , ^t corpus fuper curua AM defcendens cuniam vbique aequaliter premat,

Solutio.

Sit potentia follicitans quaefitarzP, didlisque APmx, PMzzj, et AMzzx, atque preffione , <|uam curua fuftinet zz: ^ ; hibebitur iila aequatio k'h dx — Vdx dy -{- 2 bddy-\-i ddjfPdx ( 2 24) i n qu a ^ J eH: elemeatum conftans. Ex hac igitur aequatio- ne quantitatem P erui oportet. Aequatio autem

N 3 per

iQi CAPUT SEajND:m MOTU Tvmft

per dy multiplicata et integrata dat kdsfdx dy zr dy^fVdx-^ hdy\ ex qua prodit /P^.r -f- Z» zr ^

jdx dy, quae difFerentiata dat P zr |^ - —f-^^ fdxdy, At integrale yi.rt/)' ita efi: fumendum , \t pofito x:zio fiat |y^ fdx dyzzb. Quo autem haec integratio facilius fuccedat , ponatur dy :zzpdx erit dsizidxVii-hp') , et fdx dy =z ds f^^^ , ideoque ^z J ax ay ._ — jz — J^^ippy lix qua aequatione r)rodibit p - ^^ ^ ' -^l^j _ 2|fe_d^ , _^ O u T

I.

232. Ex hac aequatione quoque flatim cele- ritas corporis in fmguiis pundis habetur ; altitu- do enim debita celeritati corporis in M eft ^ -4-

J P^-^ Z If-fdxdy Z ^-^-- f^/i^^r Tempus veroj quo arcus AM abfoluitur, eft z vleip^^r:!//^^^^^.

Corollarium 2.

233. Perfpicuum eft ex aequatione inuenta, quantitatem potentiae P eo fore maiorem , quo inaior Ht k, ceteris paribus •, variabiiis enim eius valor dudus eft in preilionem h

Corollarium 5^

234. Etfi vero non videatur potentia P a celeritate initiali b pendere, quia in expreffione

b non

SVPER BATA LINEA IN VACUO. 103

h non ineft, tamen pendet P ab Z> ob integrale f^/^^-pp]^ quod ira eft accipiendum , vt pofito .V -0, fiat ^-^;^^^ /v^^3 Z^v Variata ergo ce- leritate initiali alia prodit potentia foUicitaiis 3 tamctfi curuii propofita eadem maneat.

Exemplum !•

23«?. Sit curua AM parabola in A vertlcem ct axem horizontalem habensj ita Yt fit (^^J ZL^*' Erit ergo ^y zz: '-^ , hincque p z=z '-^ , et iv(f:£-^)

— /v(f ^!^!::^ = i y(^'-+-4.r')-4- C. Quare erit

3

^2 Jvri_j_;f^) — ijx^ ~T- ^s,^ • Vs^uae

quancitas cum debeat efle ~Z»j fi fit orizi^?, erit

^ — 2? ^^^-vTr-t^^ — 2 "• l^x quibus

inuenietur r=i:^3 — -^s — —- — -- In ipfo er-

go punilo A potentiaPcrit infinite parua, tam nu- merator.cnim, quam denominator euanefcunt, fitque valor iltius exprefiionis zi:o. Celeritas vero in A non poteft effc arbitraria , etiam fi conftans C videatur ex b determinatn. Nam C talem tantum habet valorcm , qui expreflionem b-\-fVdx — ^ l^ f dx dy reddat finitae magnitudinis. Pendebit ergo ^ ab ^ eiusque valor inuenietur, fi in ex-

3

^^^CCr^^ fe(a'-4-4^')2— fec(&»-^4a:g) ^

preuione ~Jx'^'^^^^ •, ponatur x:=^. Tum

autem prodibit h-zz.-^. Hac ergo celeritate defcen-

fus

^To^CAFrT SECFND, DE MOTF PFRCTI

fus incipere debet , vt preflTio ybique aequalis a potentia P inuenta oriatur.

Exemplum 2-

236". Sit curua AM circulus radii a tangens redam AP in A , erit J'z::za —V^a—x^) et p^:;^^} atque V(i-^pp) = ^^,-ry- Fiet ergo /^t;^^ r=:/-^ = 2^, ad quod conftantem addere non li- cet, quia ^-jf^ = ^2 fit infinitum euanefcente Ji;^ Erit crgo k ^-^-^^^ J^JT^pp) = f = b -^ fpdxj quare celeritas corporis erit vniformis , ideoque potentia foUicitans euanefcit. Perfpicuum enim efl: corpus a nulia potentia follicitatum in peri- pheria circuli aequabilirer progredi, eiusque vim centrifugam eife vbique eiusdem magnitudinis.

Exemplum 5.

237. Sit curua AM cyclois bafin liabens ho- rizontalem et cufpide tangens verticalem AP in A*, ita vt fit 4)'— vi?:r2-„rc Habetur ergop— ^„,— -, et V(i-\-pp) = ;n:sh:T^y Quare erit /;^jjj= — a — — ~JW -T- <- et —pf^ = o^. Sumta ergo conftante C finitae magnitudinis fit Z^ — 09,

quare fiat Cmo , erit b-i- f?dx = ^^, ct b=o,

Prodibit igitur Vzizp^. Si itaque corpus fuper cycioide AM ex A defcendat ex quiete et folli-

citetur

\ srmn bata tmEA m vacvo, io#

* titetiir deorrum apotentia, qiiae reciproce eil: vt radix quadrara ex abfcifla AP, corpus "vbii^u© curuam aeqaali Yi premet.

Scholion.

238. Dantur igitur cafus , quibus ccleriti-" tem 'V b nori pro lubitu alTamere licet, quem- admodum in his exemplis euenit. Qaoties enim

'-~~ fit inunite magnum fado x—o^ conftans ia

integratione ipfms ^77^^ addenda plerumque hoc

ipfo determinatur, quod celcritas initialis noa ^

debeat efTe infinice magna.y Semper autem , fi

curua in A tangit re<5tam AP, fit ^^^^^ infini- tum pofito .r~^, id quod in caufa etiam ed ^ quod in exemplis allatis celeritas initiaiis noE fit arbitrariiu

PROPCSITIO 27: " . \

_ Pi*cblema.

239. Si corpus a qiacimque m perpetiio ieor- TaijuiaTir^ Jumrtriihatiir \ inuenire curuain AMj fuper qua '^^' ^* corpus ita mouetur^ vt tota prejj.o^ quam curua fu-

fiinet j datam habeat ratlonem ad preffimiem a m mrmaU ortunu

SollltiO* Defcendat corpus ex A celeritate debita a!- tltudini h^ et pofiro AP rz.i^ 5 PiViZij , AMzrj--j Tom.IL Q fit

xo6 CATUT SECUND, DE MOTU FUNCTI

fit potentia corpus in M follicitans nrP , erit al*- titiido debita ceieritati , qiiam corpiis in M iia- bet , inb-^fVdx, Tota vero preiTio quam cur- ua in M fecuiidum diredionem normalis MN>

met zz: -^jA- ' — d^d iumto ds pro ele-

mento conllante. lam habeat fe liaec preffio ad Tim normalem -^ Yt m ad i •, erit {m—\^Ydxdy ::z:2.ddj(b^fPdx)'y quae eil acquatio pro curua quaeiita. Haec yero reducetur ponendo v loco

^+/P^.rj adhanc formam^^^'— zz^-^y^., quae in-

m — t

tegrata dat 2 /5^ zz {m-i) I^ > ^eu v ^ ds =z

m — 1 ^— t ri) ^ dx

a 2 dy, Ex qua habebitur dj zn y^^^_,_^^-

m — i

pro curua quaefita» Q. E. I.

240. Celeritas corporis ibi eil nullaj Tbi ^ r=:<?> ftu "vbi curuae tangens eil verticalisj fi qui- dem ^^~ fuerit numerus pofitiuus , feu fi ;;z ma- ior fuerit vnitate. In his igitur cafibus curuam in A tangere ponemus redam AP? et ceieritatem Initiakm feu bzzo.

SFFER BATA LINEA m VACUO. 107 Corollarium 2.

24.1. Qiiare fi ??2j>i, feu fi predia tota ma- ior eft, quam preflio a vi aormali orta-, curuam

m — i

dx {(Vdx) 2 quaefitam dabit ifta aequatio ^— y^^,m~i_Qp^^.^;?rT]

itt qua /Pix ita debet accipi, Yt euanefcat pofi- to x-zzzo.

Corollarium 5.

242. Si m zz: I , vis centrifuga euancfcet, et propterea Unea quaefita erit recTira. Fit autem ex aequatione ddjzno , quae eft proprietas lineac xedae.

Corollarium 4.

243. Si 77i:z:o tum tota preflio euanefcit , quare tum prodibit curua, quam corpus celeri- tate fua altitudini b debita proiedum libere de- fcribit. Pro hac igitur curua habebitur ifta ae-

7 dx^/a

quatio ^//=:y,_aH=J^)*

Corollarium 5.

244. Si 771 eft vnitate minor, tunc vis cen- trifuga erit contraria vi normali , et propterea curua AM erit concaua deorfum, Ponamus igi- tur in A curuam effe normalem ad AP, trlt bziz a. Pofito igitur bzza^ habebitur pro curua quae-

1 —m

a ' dx ,fita haec aequatio 4y=y(ppji^^^«— T-^'

O 2 Co-

1

r

10$ CAWT SECUND. DE MOTU PUNCTI

24.5. ^fo motu libero igitur , quo cafu efi mzno , inuenietur curua a corpore deKiipta , H in A horizontaliter ceierirate aititudini a debita

dx^/a

proiiciaturj ex liac aequatione aj zn yj^

_ . . . Exeaiplum i.

246". Sit Yis foiiicitans vniformis feu P=:^ tnt. iYdxzzLgx. Cafibus ©rgo quibus m^ i , et corpus in A ex quiete defcendit, aequatio pro ciiruis quaefitis, fcripto ^<; loco ^, erit baec dy

= y^-iJ^^.m-:T)- ^^ ^i ^^^ ^^Ki ? et corpus'

in A celeritate altitudini a debita proiiciatur ho- rizontaUter , curua fuper qua corpus moueri de- bebitj fcripto ^ ^ ioco a^ exponetur liac aequa-

^^ ,€ ^ dx tione A^— — 7 — — 7i— ??i" •"Tr^- H^s ergo curuae

erunt algebraicae, fi vel ^^~^-; vei ^:^ fuerit

nuip.erus ietegex affirmaiiuus. Hoc vero euenit. f\ m fiitrit terminus vei ex liac ferie 3, 4' t ' ^j -y- etc. vei ex (hac iQiiQ o, i, |j |, 1, |. etcet.

^CorolIariuni 7,

247. 5i igitor tota pieflio rriplo debeat ciTe maior quam vis normalis;^ ciiiua exit ciicuius tan»

^

SFFER DATA LmEA IN VACVO. 109

xdx

gens xt^im AP in A. Namquc erit dy zz-^^^-yz:-^) feii jini,— /(/— .r'') 5 aequatio ad circulum radii i\

Corollariiim 8-

248. Sit tota preflio duplo raaiof quam vis normnlis, feu vis centrifuga aequalis vi nor- niali cum eaque confpirans ; erit curua cyclois cufpide verticalem in A tangens. Aequatio enim

txit dyz:z:^^y

Exemplum 2«

249. Qiiaecunque fuerit potentia follicitani P, requirantur curuae eiusmodi", vt preifio tota quam curua fuftinet , fit doplo 'maior quam Yis normaiis feu quam vis centrifaga, quae hoc cafu illi aequaiis erit. Fiat igitur mziz^ , et pro curua quaefita haec habebitur aequatio dj^—j-^^

Seu dido fVdx-zX erit dyzzdx V ^= v||£x^) Hoc exernplum ideo attulimus, quod in ieqaen- tibus demondrabitur curuas huius proprietatis ef- fe fimul iineas celerrimi defcenfus.

250. Perfpicitur ergo infinitas eireciinias quae- ftioni fatisfacientes, propter quantitatem a arbi- trariam. Atque infinitae hae curuae omnes tan- gent redam AP in A.

iio CAPVT SECFKR DE MOTF PFNCTI Scholion. l.

251. Ex folutione huiiis problematis appa- ret , quomodo problema inuerrum , quo curua et ratio inter totam preflionem et vim normalem datur, at quantitas vis follicitantis deorfum ten-

dentis quaeritur, foluidebeat. Cum enim fit v ''^^ dszzia^—dy, feu pofito dyzzipdx^ 1;'^ "/

m-, . ^P

m— I

J ? d X 'y hincque difFer^ntiando Vdx znzzzii

3 — T7t

2 ap m-i Jp

(m—i) (iH-ppjw—i 2,ap "i— » dp

Confequenter inuenitur P z=r

f •• Vbi notandum, celeri-

{m—i){i-\-pp)-^—^ dx

tatem initialem iam efTe datam , nam formula

ap ^i— »

-,- — 3 fi in ea ponntur xznOj dat b.

(i-i-pp)^—^

Scholion 2.

252. Simili modo fi motus corporis feu cc- feritas eius in fmgulis locis detur , atque relatio preffionis totius ad vim. normalem , inuenietor ex celeritatc flatim potentia foih*citans. Vt fit v ai- titudo debita celeritati in M, erit ob b-i-jVdx

SVPER DATA LINEA m VACVO. iii

m — 1 m — T

:zzv; P — j| ; atque aeqiiatio i; 2 dszzz ci ^ dy dabit naturum curuae requifitae. Cum enim v fit data , diiri debet vel iii x vel s et conftanti- bus quantitatibus, fcilicet quae ad curuae naturam exprimendam adhibentur. Ceterum eadem pro- blemata in hypotliefi virium centripetarum vel plurium potentiarum foliicitantium propofita non habent plus difficultatis, etiamfi ad magis perple- xas aequationes perueniatur. Atque cum fimpli- cia exempla in medium proferre non liceat ad illuftrandum, ea potius relinquo; hocque eo ma- gis , quod in fequentibus , vbi de brachyftochro- nis agetur , eiusdem naturae curuae prodeant, quas ibi diligentius expofiturus fum. Nunc igitur ad ea progredior problcmata , in quibus motus quaedam proprietas proponitur , ex qua coniun- da vel cum potentia follicitante curua quaeritur ^ vel cum curua ipfa, potentia foliicitans. Probie- mata vero nimis facilia, vt quando vel fcala celeritatum , vel fcala temporum daretur 9 praetermitto, cum ex expreflione celeritatis vel potentia foUicitans , vel ipfa curua fponte fiuat, atque temporis expreflio facillime ad celeritatem deducat. Hanc ob rem huiusmodi afFeremus quae- fliones, in quibus non ipfie celeritates vel tem- pora dantur, fed reiationes quaedam ab iis pen- dentes.

€12.

CATUT SECUnD. DE MOW PunCTl

Problema

fi.hiiU VI, ^53' SoHicitetnr corpus a quaciinque potentia

Fjg»3'iss deorfum tendente\ imienire curuain AM juper quA €orpus defcendcns motu aequahili deorfum feratur j feu acquabillter a borizontali AB recedat,

Soiutio.

Pofitis A?=:.r, PMnzjK, AMzrx, et potea- tia foliicitante zz: P, fit celeritas corporis initia- lis in A debita altitudini /?, erit celeritas in M debita aititudini b-\-fVdx. Qiiare ten^piifculum, quo elementum M percurritur, eft vT^JTJJ)* Qiiia aiitem motus per AM refpoodere debet motui aequabili per AP , concipiatiir corpus mo- tom (iiper AP celeritne conftante debita altitu- dini /^, debebit tempus per Vp aequari tempori

per Mm , ynde iiabebitur % zn yTfcilrn-^^ ' ^^^ dyybzzzdxVjVdx, Pono autem ceieritatem ini- tiaiera congruentem cum ceieritate defcenfus , vt curua in A. tangat verticaiem AP, et corpus pri* moprincipio reda d^fcendat.Namquia propter mor tum acceieratom necelTc eil vt cunia conrinuo magis ad Iiorizontem inciinetur , eius initium commodifTimfe fumetur in A. vbi curua ed verti- calis. Prodiitqoe ergo pro liac cunui aeqiiatio djVbzizdxyfVdx. Q. E. L

1

l-SVPER DATA LINEA IN VACVO. 113

CoroUarium i.

254, Haec ergo curua lianc habet proprie- |atem , vt quo maior fit corporis celeritai, , eo inagis quoque curua in eo loco ad horizontem fit inclinata.

Corollarium 2.

255. In loco ergo fupremo, vbi celeritas corporis eft minima, inclinatio curuae debet ef- fe minima, feu tangens curuae in eo loco de- bet tf^Q- verticalis.

Corollarium 5.

' ^$6. Celeritas igitur initialis V^ non pot- cft effe nulia, quia ei aequalis eft celeritas re- fpediua, qua corpus deorfum progreditur, feu ab horizontali AB recedit.

Scholion r.

257. Vocatur haec curua linea aequabilis de* fcenfus, quia corpus fuper ea defcendens aequa- bili motu deorfum progreditur. Lineae huius in- uentio extat in Ad. Erud. Lipf A.1^90. pro hy- potheft grauitatis, feu potentiae foliicitantis vni- formis. Satisfacereautem iiuicquaeftioni demonftra- turibi parabola cubicalis Neiliana, quae eadem in exempio fequente prodibit.

Exemplum i. '

258. Sit potcntia fol!icitans vniformis fdu Pzr^, mt fYdxzzigx, Qiiare pro curua quaefita Tom, Ih P habe-

114 CAPUT SECUND. DE MOTU WNCTl |

habebitur ifta aequatio djVb^dxVgx, quae integrata praebet hanc, f^jV b :zz2.xygx, feu^ nzx^j quae efl pro parabola Neiliana cufpide in A verticalem AP tangente, cuius parameter efl |-g. 1 Pro quaque ergo alia celeritate initiali, alia eft lu- | menda parabola.

Exemplum 2.

259. Sit potentia follicitans P poteftati cui- cunque abfciflarum data Unea audarum proportio-

nahs vt P = -y^ ,erit/P^^n^^^^

Quamobrem pro curua fatisfaciente habebitur ifta aequatio dj V {n-\-i)bp — ^x y(^-f-.r) ""^ * — <*"-^ > > Si a—Q , ita vt potentia foUicitans P fit pot&flatl cxponentis n diftantiarum corporis a horizontali AB proportionalis, erit dyy^n-^riybf^—dxVx^^^^f

cuius integralis cfl: yV {n-\-i)b f^~- — , feu

Cn^,)(n-4>3)', lfny^-,^n^^ ^ ^^ ^^^ ^ebet eflc

numerus affirmatiuus, alioquin /P^.r fieret infini^ tum , quia euanefcere debet fado xzzo, Fit ergo «H-"3^2-, quare fatisfaciunt parabolae verticibui in A verticalem AP tangentes. Vt fi nzni feu P rzi^, fatisficiet parabola Appolloniana, cuius pi- rameter t?i nY tihf.

Scholion %

2.60. Ex huius propofitionis folutionc pcrfpi- citur quomodo eiu^ inuerfa , qua datacurua, quae

fit

SPTMBATA LimA IK VACVO\ iis

fit linea aequabilis defcenfus, requiritur potentia foUicitans. Cum enim ilt dyl^b— dxyfVdx y txit fVdx 1=:^-. Ex qua oritur pofito dx conftante, P z= ^^l^- Perfpicitur ergo potentiam P a cele- ritate initiali V b pendere. Curua vero data ita effe debet comparata, vt ia A tangat verticalcm AP. Si curuae radius ofculi in M dicatur r, erit P zr ^^rdx*"^"' Quare fi ex. gr. curua AM fuerit cir- culus tangens AP in A, cuius radius zn ^, erit f z=:a\ dyzn ^jfi^z^ et ds nr y^^. Pro cir- culo ergo erit Pzz ^^^- Celcritas vero in M debita eft altitudini b -{-'fVdx ~ ^fcr^.

CoroUarium 4,

25i. Patet ceterum ex aequatione, quam inuenimus , ^ = T^z^fl^) tempus quo arcus AM defcribitur, aequale effe tempori, quo corpusvnifor- initer celeritate altitudini b debita abfciffam AP percurrit. In lioc ipfo fcilicet natura lineae ae- quabilis defcenfus nititur.

PROPOSITIO 29.

Problema.

2 6" 2. Trahente 'onifonni potentia n:hiaue «oerti- Tabuiavii^

z' Fi 8! 5

caJiter deorfum , inuenire ciiruam A M , fuper qua * corpus aequubiUter verfus datam plagam AV progre^ dJtur.

P 2 So-

ji6^APUT SECUUD. DE MOTU FUNCTl

Solutio. ^'i

Sit AM curna quaefita, et pro axe fumatur cius tangens AP, quae verlus datam plagam di- rigitur. Problema ergo requirit, \t corpus fuper AM motum a potentia vniformi g foUicitatum eodem tcmpore ad M perueniatj quo corpus itio- tu aequabili nempe celeritate Vd latumi abfciflTam refpondentem AP percurnt , eritque celeritas ini- tialis in A debita altitudini b. Dicantur APzzijr, PM=J^, et AM — j , ducaturqiie verticalis AQ, in Q_ (ecans horizontalem MQ; Celeritas igitur corporis in M tanta erit , quantam in Q ca~ dendo per AQ cum fua celeritate y b acquireret; quare celeritas corporis in M debita erit altitu- dini b-^gz dida AQzn^;. Per conditionem pro-

blematis vero debet effe/y ^t^g^^zn/f^ feu yX^gT) — ^, vnde oritur haec aequatio dfVbzzzdxVgz, At z in X ctj dabitur ex angulo PAQ-, fit finus huius anguli zmm, erit cofinus zzzV(i—m'') pofito finu toto ~i. Nunc erit Vii—mf): ///=: APGr}:

PO, ex quo erit PO = y^^^2y- j ideoque MO zz:

^-%^^T^. At AOfiet ='y-y^^, Deinde ob

i:?;i=:MO:00, erit OO = ^?^-^-"^. Con-

V( i — m^)

fequenter AQjzzzzizmy -{- xV (i^m^), et hinc dj

— Irt "" m • VP^^ valore m aequatione in-

uenta fiibilituto prodit dzVbzz:dxVh{i—m'') -f-

mdxVgz, quae transit in hanc ^Arizr^-^^-^/f^-^.-

Cu-

SUPER DATA LINEA IW VACUO. 117

Cuius iiitegrahs muenitur x zr — ^^- — -^ •'

^~vf[r5?r^- Q^^ae aequatio , loco s valore my H- .rV ( I— 7;r) liiblHtuto , dat naturam curuae quae- fitae. Q; E. i.

CoroUarium i.

263. Curoa efgo fatisfaciens fennper eft li- nea transcendens, nempe a logarithmis pendens , nifi fit /;/ vel o vel i , i. e. nifi reda AP vel fit ver-^ ticalis vel horizontalis.

Corollarium 2.

2^4 Si igitur ;;/ri6' problema cum pracceden- te conuenit , fit enim' zzzx^ ideoque curua expri- metur hac aequatione dj V b — ilxVgx j quae dat parabolam cubicalem vd fupra.

CoroHarium 5.

255. Si /;/~i fit linea AP horizontalis, et S-z:j'. Habetur ergo ^r = y|y , feujzz:-^^, feu x^zz: — - Haec ergo curua eil ipfa proiedoria j quam corpus in A celeritate Vb horizontaliter proiedum libere defcribit. H:iec enim curua , vt cx fuperiore libro intelligitur , hanc habet proprie-- tatem , vt motus horizontalis fit aequabilis.

Corollarium 4.

^66. Si .r et-j, ct confequcnter z eil valde . paruum, ent /(i -}- ^/^_m^)) — ^bix-m^) " 2b[\~m^) 3bii-nfiWrr-l^] 7 q"s"^ proxime. Initium er-

P 3 §^

iiS CAPUT SECum. DE MOTU FUNCTI

go curuae AM exprimetur hac aequatione x z^z::: 7T^-y^M/T ^eu ob z=:mj--{-xyii-^m"), ifta y ^ 3V6(i-m^j — . (iuae reducitur

1—71

4S

adhaac ^^^ = (;/y"H*YV(i-?«'))^

CoroUarium f.

2(^7. Si mzizi , feu fi linea AP eft horizoa- talis, et feries logarithmo illi aequalis continue- tur in infinitum, haecque feries loco illius fubftitu^ atur , termini omnes prae infinitefimo co euane- fcent. Dabit autem infinitefimus zzzio ^ feu j'— o, id quod indicat hoc cafu lineam redam horizonta- lem quoque fatisfacere. Id quod quidem per fe eft perfpicuum, nam corpus fuper reda horizontali aequabiliter progredietur, ideoque motus eius ho- rizontalis eft aequabilis.

Scholion i.

258. Mirabile igitur videtur, quod acquatio differentialis et integralis quoque, quae prodit fi ponatur mzni , parabolam tantum praebeat ^ et redtam horizontalem excludere videatur. Sed no- tandumeft, Imeam redamhorizontalem proomni- bus quoque plagis AP fatisfacere cum motus in ea lit aequabilis , atque ideo verfus omnes plagas ac- quabiliter progrediatur. Perfpicuum autem eft ae- quationem noftram generalem hanc redam com- prehendere non pofle , quia re<n:am AP nusquam tangic , nifi in cafu /« zz i , quo cum ea con-

gruit.

SUPER DATA LimA IH VACUO. ii(f

gruit. Atque haec ipfa ratio quoque eft, cur pro cafu etiam mzz.i linea redla non direde inueniri queat.

Scholion 2.

z6(). Manifeftum quoque eft eadem opera pro- blema ktiori fenfu acceptum folui potuiffe , fi fci- licet potentia follicitans non vniformis fcd varia- bilis vtcunque eflet pofita. Namque fubftitnto P loco^, ct f?dz loco ^5: in aequatione difFeren- tiali, prodiffet haec aequatio cly "V b "zz d x V jVd^ pro curua quaefita. Habet vero z eundem valo* rem qucm ante. Qiiare fi P ab altitudine z et conftantibus tantum pendeat, poterit/P^5? vei in- tegrari vel per quadraturas exhiberi. Atque tum aequatio pro curua poterit conftrui, peruenietur

cnim ad hanc aequationem dx = ^Svjl&iwru^i in qua variabiles x et z funt a fe inuicem fepara- tae. Nolui autem proWema nimis lata iigniiica* tione confufum efficere. Qiiando enim latior fi- gnificatio neque plus dilHcultatis habet in fe, ne- que ad peculiarem vfum accommodari poteft , co reliclo particulare tantum problema pertrada- re conftitui. Proptcr eandcm rationem fequens problema ifochronae paracentricae in hypothefi tantum potentiae vniformis et deorfum diredae tefoluo.

PRO-

120 CAPUT SECUND, DE MOTU PUNCTI

PROPOSITIO 50- Problema.

TabuiaVii. fi^o- lu hjpotheji potentiae [olHcitantis vnifor'

PiS'4' ^j^i^ ^^ deorjum tendentis inuenire curuam AM juper qua coi^piis defcendens aequabiliter a dato pun£io C recedit,

Solutio/

Sit AM curua quaefita, eius futnatur tangens CA, quae per datum pundum C transit , erit corporis in A celeritas nuniina. Quia enim liaec celeritas tota ad recedendum a C impenditur, in aliis curuae elementis necelTe eft , \t celeritas fit maior, eo quod eius tantum pars ad receflum in- fumitur. Pundum A ergo erit fupremum curuae quaefitae.Sitigitur celeritas corporis in A debita aiti- tudini h , hacque celeritate concipiatur corpus per . AP vniformiter moueri: debebit itaque hic motus cum defcenfu corporis fuper curua AM ita con- uenire , Tt ad quaeque pun<fi:a P et M aequaliter ab C diftantia fimul perueniatur. Pofita celeri- tate in M debita altitudini v , ducatur CP~CM znXy et fit finus ang. PCMzn^, pofito finu toto rzi. Ducantur arcus circulares PM et p/7/centro C, erit Mnzz:Vpz:zdx j et ang.pCm (inuszzt-\~ dt, Qiiare erit finus ang. ;// C n zn ^'J^x\) " T- Erit igitur mn zn yn^^t), atque M/7/ ni: V {dx" -\- l^^y Cum ergo elementum Mm ceieritate Vi?

SUPER DATA LINEA IN VACUO. 121

codem tempore defcribi debeat quo elementum

Vp celeritate Vb, erit % — V ( 4 -4- (tSttJ ^'^^ dx^V^i—tt^iv—h^-znxdfVb. Requiritur ergo vt V determinetur. Ad hoc ducatur ex C vertica- lis CQ^ et horizontales AD, et M Q.", poftquam crgo corpus ex A ad M defcendit , deorfum per- uenit interuallo DQ. Quare pofita potentia fol- licitante :=r g erit vzzb -{- g. T)(^pzb -[- g. CQ_-= g.CD' Sit AC — ^, finus anguli ACDzzw/, erit cius cofinus zz V (i— ;;z^), vnde erit CD rz ^V (i— m*), et cofinus ang. 'M.QQjzLmt -{-V {i—jn) (i—t^). Quam ob rem erit QQ^ — mtx ~\- xV (i—m^) (i— /^). Ex quibus conficitur fD—b—gaV {i—in) -^-mgtx -\-gx y (i— ;;/) {i—t^). Qiio lo- co V valore fubftituto prodibit ifta aequatio dx y ( I —tt) ( mg t X -^g .r y ( I —m^) ( i —t^^^-gciVi i —;;/)) nz xdt V bj feu haec ^ V (mgtx -{-g x V (i —;;;*) (i— /') —gaV(i—m^) ) n: ^(73^3- Quae aequatio exprimit naturam curuae quaefrtae, et , fi inde- terminatae x ct t a. fe inuicem feparari polTenti ipfa curua conftrui polfet. Q. E. L

CoroUariutn i.

271. Perfpicuum igitur eft ex aequatione in- uenta innumerabiies curuas quaefito fatisfacere, ob tres quantitates anguium fcilicet ACD, diftantiam AC et celeritatem Vb , qua corpus a fixo pundo C recedit , quae pro lubitu variari poflunt,

Tom, IL Q. C^'

1^2: CAPFTSECrNB^ DE MOTV fVKCTI Corollarium 2^

272. Atque harum trium quantitatum binis quibusque airamtis pro arbitrio tertia fola Yaria- bilis infinitab producet curuas quaefito fatisfacien- tes. At quia aequatio haec generaliter conftruL non poteil:, omnes curuae fatisfacientes exhiberi non poffunto.

Corollarium 5.

273. Qtiod ad figuram curuarum harum at-- tinet, mteliigiturj eas omnes in A cufpidem ha- bere debere , quia A eft pundum fupremum«- Alter enim curuae ramus ex A ad alteram par- tem' redie AP defcendere debet \ Excepto cafu quo CAP iit linea horizontalisj tum enim haec „atio. celfate.

Corollarium 4«

274.. Alter vero ramus ad alteram redac* CP' partem pofitus aeque foluit problema ac ifte AMo Inuenitur enim eadem ex aequatione, li modo / feu angulus PCM accipitur negatiuus,.

Corollarium 5.

275. Ex fola autem aequationis inucntae iii- fpedlione perfpicitur eam duobus cafibus fepara- tionem iudeterminatarum admittere , quorum al- ter eft fi ^zno, alter fi ?;2— i. Illo fciiicet cafu euanefcit diftantia AC et pundlum A in C inci- cidit s hoc vero cafu reda CP fit horizontalis..

Hos^

SrPER DATA LINEA IN VACVO. 123

Hos igitur ambos cafus in fequentibus duobus ex- emplis euoluemus. ,

Exemplum i.

275. Incidat ergo pundum A in C feu cor- pus defccnfum incipiat in ipfo pundo C *, fiet a zz:o. Hoc ergo cafu aequatio pro curua quaefita abibit in hanc ^^ = ^^ , _,fxmt-f-v(i -m'xT=:Fr} ? iri qua indeterminatae a fe inuicem funt leparatae. Conftrudio igitur curuae quaefitae per quadratu- ras confici poterit-, fiet enim ^^ znzizzzi f

VU-ttxmt^v(i-m^Ki-r-))? ^^^^ integratio ita debet abiolui 5 vt faAo tzz.o fiat xzzzo. . Namque gene- ralis aequatio ita debet integrari vt pofito t~0 fiat X zzi a, Hoc igitur cafu integrale ^

^( 1 ^tt)(m^v(Tn;?i?](T^n ^^^ ^^ accipiendum, Tt fa* dio tz^o iplum euanefcat. Ad conflrudionem hu- ius integralis vero melius perfpiciendam , pono cofinum angnli MCQ, feu mt -^V {i—m^){i-~tt) ^q ^ quo fado fiet finus ang. MCw/, feu y^j^ ZZLjf—^y Hisque fubflitutis habebitur ifla ae- quatio • ^f^ := 7^^^!:^) > qnod integrale ita efl accipiendumi vt fado qznV {i—m^) fiat xzz-O,

Corollarium 6^

277. Si ipfi b diuerfi valores sttribuantur ? omnes curuae quae oriuntur erunt inter fe limi-

Q^ 2 les,

ti^CAPVT SECFND. DE MOTF PVNCTI

les , manente enim angulo MCP, diftantia CM proportionalis efl: accipienda ipfi b akitudini ge- neranti celeritatem initialem

Corollarium 7.

278. Qiiicunque ergo fuerit angulus ACQ.J conftrudio non immutatur, fed tantum conftans adiicienda. QLiare conftrudio inferuiens vni ca- fui ad omnes cafus poteft accommodari.

Scholion r-

279. Problema hoc de aequabili receflTu a fi- xo pundo praeterito feculo jam erat propofitum et folutumin Ad.Lipf A.i^PS-atquefolutiones quae ibi extant conueniunt apprime cum cafu huius exempli , vniuerfalis enim folutio illo loco non eft data. Quamobr^m cafus exempli fequentis nduas prorfus dare videtur curuas huic quaeftio- ni fatisfacicntes. At quia fequens conftrudlio cum hacconuenit, quanquam ipfaecuruae fintprorfus dif- ferentes, tamen etiam fequcns cafus in iis, quae hac de re tradita funt, contineri cenfendus eft.Vocantur autem iftiusmodi curuae iiochronae paracentricae, quia motus fuper iis a centro fixo fit aequabiliSe

[um 2*

280. Sit linea CaP horizontalis, fiet wrrri atque in nequatione geiierali euanefcet terminus gaV (^i-^m*). Hoc igitur cafu aequatio fit vt an-

SUFER BATA LINEA mVACUO. 12$

te feparabilis, transmutabitur enim generalis ae-

quatio m hanc -^ — v^tizfT' ^*^^ -v|-==/v(7::-T^) quod integrale ita eft accipiendum, vt pofito ^rz 0 fiat X-ZZ.CU (^iiare j^(tLt3j ita integrato, vt euane-

- r j •■ 2Vgx— 2Vga /1_^L_ ^

fcat pofito/zzi^? erit — 7^ — i\i{x-\^Y Quae con-

ftrudio ergo cum praecedente conuenit.

Scholion 2« .

281. An praeter llos duos cafus alii inueni- ri queant, qui feparationem indeterminatarum ad- mittant, veliementer dubito. A nemine quidem, quantum fcio, aiius efi: erutus, quamobrem non neceffe ^^^ iudico, Yt huic materiae diutius im- morcr.

PROPOSITIO 51.

Problema.

282. Votentia follUitante exijlente miformi ^/ ^ab, viii, deorfum tendente, iniienire curiiam AM , fuper qua Fig, i, corpus data cum celeritate initiali ita moueatur , vt aecjualibus temporibus aequales angulos circa puU'

ctum fixum C abfoluat,

Solutio^

Sumatur initium curuae in loco quodam A in quo reda CA in ipfam curuam eft norma- lis. Sitque ceieritas in A debita altitudini^, et AC~^j erit celeritas angulans vt -^ , cui quanti-

Q^ 3 tati

m^6 CAPUT SECVND, BE MOTU VVKCTl

tati celeritas angularis in fingulis pundis M ex- preffa debet cfTe aequalis. Sit celeritas in M de- bita akicudini v et CMnr.i", erit mn zndx. Fiat ^t Mm\ Mnznyvy ^^? ^^^^ quantitas per MC diuifa dat celeritatem angularem ~ ^^q^ quac

cum aequalis t^c debeat ipfi ^ liabebitar haec ae- qudtio Mn. aVvzir.Mm. MC V hzn Mm. xVh. Sit jam duda verticali D C Q.? fi"us ang. ACD =:/;/; erit cofmus eius zz y(i— ///) pofuo finu toto:=:i. Item finus ang. MCD fit zn t , erit cofinus nz V {i—tt). His igitur pofitis erit CDiz:^ "/( i — m*) ct C Q_=: — T y (i— ^/), .atqne finus ang. MC?// —

—TTY-''-. vnde fit Mn- ^^ tt Mm -~ iid^tfd^ptn^ At quia corpus ex altitudine DQ^

cft delapium , erit v—b-\-g. DQpzb -\-g aVii-m'') ^gx y (i—tt). Qiibus vaioribus in aequatione in- uenta fubftitutis orietur haec aequatio, bdx^{^i-tt) ziLabdf-^gadf^{\-m^)-^axdt""V{\-tt)-'-^

hxUt\ .{txidxl^b-^-^^^^^^^^ Quae aequatio ita integrata vt pofito tznm fiat :X =r a , exprimit naturam curuae quaelitae» ^. E. L

CoroUarium i.

2S3, Si loco finuum angulorum ACD, MCD eorum cofmus introducantur, fiuque y ' i —-;;/*) =z n et y (!-«)= ^ierit dx Vb =r "f v(»'t-Hg-_;^-g»-a^-6x')

feu

SrPER DATA LINEA m VACVOi ^27

feu T^) ■:=:: ^',tia-_^^]^^fa-ina-qx)) , quae ita eft. iii> tegfranda, Yt pofito qzizn fuit a:— ^.

Coroilarium 2»

284. Vbi curua ad radium CM efl: normalis ^ ibi ob euanefcens dx erit b {a—x'')zzga'^ {qx—na).^

Qiioties ergo eft ^ zz: — ^^ , erit curua in

radium CM normalis. Qiiia autem q intra limi- jnites -f- I et — i continetur; x non poteft efle maior data quantitate; nam pofito ;u ~ co fieret ^'zzeo; quod eflet abfurdumc.

Corollarium 5^

2:85. Si CM eft normalis in curuam eritce- leritas angularis zz: ^:iz ~^-=^-^— ^- , quae aequa- lis efte debet ipfi \. Maxima ergo eft illa ce- leritas angularis fi ^zz— i. Ille autem motus an- gularis eo fit minor quo maior eft x. Eo vero minor porro erit motus angularis , quo m.agis obliqua eft curua ad radium MC. Quare curua non \ltra datam diftantiam infra C defcendere poterit , quam diftantiam dabit x ex hac aequa- tione xYb — aV {b-{-gna-\-gx) ■) nempe x :zz Ye-

-4-^"V^(^2 -4- V +!)• Haec ergo eft maxima cur- uae a punclo C diftantia»^

Coroliarium 4.

2S6. Cum igitur curua non vltra datam di-=' Hkntiam a centro fixo C diftare queat^ curua liaec:

erit:

X28 CAFUT SECUND. DE MOTU WNCTt

erit in fe rediens. Scilicet vel poft vnam reuolu- tionem vel poft duds vel poft tres etc. vel etiam poft infinitas reuolutiones in fe redibit. Prout litterae a, bj n tt g fuerint aiTumtae.

Exemplum i.

287. Si potentia follicitans euanefcit fit^iz:^, et corpus aequabiliter promouebitur. Tum igitur pro curua defcripta haec habebitur aequatio ^^^^_^u)

^ :;/(f—tfr ' cuius integralis per log. eft V i

/(^fclzriK^l-z:^) -V _^ i(^tV-l ^ V (1 ^tt)) , feu xV-i—y^a^x^^^zz: c tV— i —c-V{i-tt). Quae

rcduda dat {a^—c^^^^^—^ia^-^-c^^ctx —4. c^x^

Apac^t^. Incidat reda AC in verticalem CD hoc enim perinde eft, ob euanefcentem potentiam ^, debebit ergo fieri xm^^ , pofito /—<?, ex quo fit a-\-c^—o^ atque a^—a^x^-\-at^ fcu x^ziza {i—tf), Qiiae aequatio eft pro circulo diametri a per pun- dum fixum C transeunte. Quando enim motus in circuio eft aequabilis , motus quoque refpedlu cuiusque pundi in peripheria erit aequabilis,

Scholion^

2S8. Perfpicuum autem eft hoc cafu periphe- riam circuli quoque fatisfacere, cuius centrum eft in pundo fixo C, quippe quae folutio eft facilli- ma et fua fponte fe prodit. Quamobrem maxime mirandumeft hunc cafum infolutione non conti-

neri.

1

SVP2R DATA LINEA IN VACUO. 12^

Beri. Ratio Tero huius fimilis prorfus ed eius j quam fupra §. 26S. dedimus, ybi fimile parado- Xiim obfetuauimus. Ad circulum centrum in C •liabentem defignandum prodire debuilTet x zz: ^i ^ fcu dxzizo, quod vero quia x vt quantitas Yaria- biiis confideratur non fieripotuit, praefertim cum in eadem aequatione folutio alia fit contentaj iti qua X eH quantitas reuera Yariabilis. Ex prima •vero aequatione pofito vz=:b, qiiae efl: Mn,"az:z TAni. X intelligi poteft circulum fitisfacere , nam li vbique eft xziza erit quoque Mn—Mm. Magnum autem arbitror fubfidium ad confiruendas curiias liuic problemati fgtisfacientes proditurum, fi tali xnethodo folutio inveniri polTe, quae fponte pro cafu inotus aequabilis circulum centrum in C ha- bentem effet datura. Cum enim cafus fimplicif" fimus ita fit inuoiutus et abditus, vt elici mx queat , coniicere licet, alias faepe curuas fimpli- ces in generali quapiam folutione contineri^ qtiae fint erutu dilHcillimae.

PROPOSITIO 52.

^89. Si corpiis attrahatur m ^uacunque ad '^^^^ ^^^'^^ centrum 'virium C, inuemre curuam AM Juper qua ^^* corpus data cum cekritate dejcendens ^ motu aequabi- U n^erfus C feratur,

Tnm. IL ' R 5o-

130 CAPUT SECUND. DE MOTU FUNCTI

Solutio.

Sit corporis in A celeritas minima debita altitiidini by erit recfli CA t.ingens curuae in A j quia corpus in A dired:e ad C moueri debet. Sit ACizi^, et CM~x j ceieritas in M debita al- titudini v^ et vis centripeta in M"?? erit vzzz^ ^jFdxj quod integrale ita eft accipiendum vt fado xzna , euanefcat , fiatque ^ ~ L Celerita» vero in M tanta efle debet, qua elementum Mm codem tempulcolo abfoUiatur, quo elementumP^ celeritateyZ^.Eritergoy^LVi; — Pp:Mi7/rzMT:MC, irnde prodil^it ifla aequatio ^. MC*~^. MT^zz^»

MT*-MT*./P<i.r.DicaturperpendicuiumCTintangen- tem —pf erit bp^ ziz —{x^—p^^jVdx , feu p^^znzzz

^ErfFd^- Vel fi finus ang, ACM ponatur zizt txit 5% — ■ vn^y* Vnde fequens emergit aequatio* -AL^- iz:=^ V— JPix. Qiiarum vtraque, fi qui- dem P per x datur 5 ad cuxuam conftruendam eft Bpta» Q. E. L

CoroIIariam l.

S90. Si vis centripeta poteflatl cuicnnqae iidintiarum fueric proportionalis j nempe P- — ^

.jrz-y ttitjfdx zn- T^» Hoc fubftituto ha^

bebitur pro curua AM fequens aequatio «^t^zhi-^

SUPm BATA ZmEA m VACUO. 131

— —y ZTTvT- Q.u2e aequatio ita debet la-

tegrari vt i-di&o tzno fiat .rzn^.

Corollarium 2*

api. Si' /y(t_tfj ita accipiatur, vt fiat rro H /Zi:o , prodibit ex illa aeqiiatione integrata haec

/ y(i-rO -" {n-{-i)^Vl?j'' Xn-^ij^Vbf'

wz^-±i-f-y(«"-^'--x'*-+-^)

^ ^ ^H-i _y7^^-i-i _ >^- n-f-i r 1= BS, fi centro C ra-

dio BCrzi defcriptus fuerit arcus circuli BSs, Ex quo patet curuam AM infinitos habere gyros anre- quam corpus in C perueniat. Nam pofito xzzo fit BSzzcvs.

CoroUarium 5.

292. Pendet igitur conftrudio huius curuae partim a quadratura circulij partim a logarithmis fin-i-i eft numerus affirmatiuus. At fi /2-4-1 efl numerus negatiuus, is terminus qui per logarith- mos erat datuSj ad quadraturam circuli quoque jreducitur.

Corollarium 4,

295. Curua haec pundam habebit fiexus contrariii Tbi t^ dpzizo, Ad hoc igitur inue-

■ ' R 2 niea»

t^2 CAPUT SECFND.DE MOTV FVNCTI

niendiim fumatur aequatio pp ==: ^3^^— , ex qiia dilFerentiata poiitoque dpzno proaibit hV x ~ a

Corollarium 5.

^94» In cafu igitur quo Pzz-7^ pundum f!e- xus contrariiibi eritj vbi eft (/2-4-1) ^^^^^^n-^i _^

Vode liaec oritur aequatio — _

- . n-\-i . --_

4- Quae in integrali fubftituta dabit angulum ACM

iii quo eft pundura iiexus contra^riL

295. Cum autem de natura hufusmodi cnr- aiirum ■ difficiie fit iti genere quicquam produce- rCj ad cafjs ipeciaies defcendendum erit principa- lesj id quod in fequentibus exemplis efticere yI-^ fiim ©ft»

Exemplum i.

' 295. Sit vis centripeta ipiis diftantiis pro- portionalis feu P^-§ fiet mzLi, Pofito ergo ar- cu BS^i" eurua quaeftta exprimetur ifta acqua-

tiOIie S ^ '^ '^ihS "+" 2 V 2 bf " &^i{(i^^3^n' ^^

QUSI

SFFER DATA LINEA IN VAOJO, 13 j

qiia Jiequatione data quauis pundi M a C diftaii- tia repcritur angulus BCS, quo abfoluto corpus in ea dillantia exiftit. Inter diftantiam MC, X vero et perpendicuium CT-jz:/; aequatio hacc

erit pp zn I^t^^z^- Huius curuae pundum fle- xus conrrarii erit vbi eft dp~o , hoc autem ybi eft x*—2.a''x''-\-j!^bfx'''-a*—2,abfj fcu x x —■=:. a"" -i- 2 hf- 2V ia'' bf-^ by'^ ) y quia x iion rraior efle poteft quam a. Hinc ^t .x — V (a^-{- bf) —

Vhf, atque ^f =r '-^p!^. Anguli erga , quem curua in pundo iiexus contrarii conftituir cum radio CM cofmus erit — ^^^y Aequa- tio vero curuae in feriem conuerfa erit; pofito r(a"-x")—j 5 haec sV ^bfzz^^^ -\-^^ + f^ H-pV+etc. Iri ipfo ergo curuae principio ^ ■vbi X non multo minor eft quam a, feuj^,val- de paruum erit sV zbfzz^. Deinde ex ipfa aequatione apparet fado xzi^o fore S — co, qua- re curua infinitis fpiris ambit centrum C5 erit- que quando corpus centro iam proximum eft ^^

~- 2bj-i-a^' Exq^^ fequitur proxime circacentruns C curuam abire in logarithmicam fpiralem.

Exemplum 2-

297. Sit 72— —I , feu n-\-i—Oj qui cafus £]c ipfa aequatione difFerentiali eft eruendus. Fit e-

aim ob V:^4 i jP^^*'^— /f ? ^^^^ habebitur ifta

R 3 aequa;-'

134- CAFUT SECUND. DE MOTU PUNCTI aequatio d s =: ^^^^jzztT) ^ '^ '^l^-i ) c^ius integra«

3

an 2f (1a — Ix) 2 « 1 • •

s eit xiz: — r^fj . Altera aequatio inter per-

pendiculum ^ et .r, erit haec pp ~t----^. Ex

qua inuenitur pundum flexus contrarii in eo lo- co, in quo cft b— ^/(1 -)*-{- 2 hl ^-^ feu /^ mzr ^=M(^^±2M.)^ Hoc ergo habebitur fumendo s z=

^/^J^— . Pcrfpicitur porro fi fiat .r=^;fo- re jzi:t^3, feu curuam infinitis fpiris centrum C cir- cumdare, hoc yero cafu erit || zz i , Ccupzzx. Vitimo ergo. curua in circulum infiniteparuum abit,

Exemplum 5.

298. Ponatur «m— 2 Tt yis centripeta fit quadratis diftantiarum reciproce proportionalis ,

dt — fdx -./ a — X 7 T-> ^ — ^

erit vTr^-TF) -- "ir~ ^ ^r&F — ds, Ponatur -^ — jj, fiet J^ = 743^= ^J—f^- Exprimit vero /-^—^arcum, cuius tangens eft J feu V^* fit hicarcusin^, erit / ~4- '-^=:j:z=y "-^. Vbique ergo data diftantia x capiendus eft arcus j in "t/

dudusaequalisdifferentiae inter tangentem V^^ et arcum refpondentem, pofito radio z=:i. Si .r ponatur ::=:<?, fiet .firco, ex quo fequitur curuam per infiaitas fpiras ad centrum C defcendere..

Prae-

SVFER DATA LimA IN VACVO. 134

Praeterea ob -/P</.vr:.« e^it pp ^ £-^|i=:]

Ex quo requitirr fi x euanefcat fore ^^ = i , reu curuam Ykimo quoque ia circulum infinite par-

uum abire. Si fuerit ahzzff^ erit ppm^^^—^^et f^^ziiy*— Panclum flexus contrarii hoc ergo cafu incidcc in eum locum, vbi eit 2.a x~%xx^ feu vel X^o Ycl ^iz:^. Sin autem fuerit ah^zz^ffj

erit2f-f-j=zy^^-, et pundum iiexus contrarii ha- bebitur capiendo xzzLiiV ^.

Scholion 2.

^99' Qp^ autem apparear, qnomodo fpira© infinitae lint comparatae, fi vis centripeta fuerit poceftati cuicunque dillantiarum proportionalis

feu PzzT^j confideretur aequatio inter ^ et jr^

duo diftinguendi funt cafus alter quo n-\-x efl eft numerus afBrmatiuus alter quo eft negatiuus» Si «-4-1 eft numerus afHrmatiuus fa^o xzizo fit pp a""-^^

J^ = (-„+,),/n_t_„n+T. Hoc crgo cafu carua

AM circa centrum C abit in logarithmicam fpi- raiem. At fi n-^-x eft numerus negatiuus flidla X—O fit ^-f— I. His ergo in cafibus curua m C abit in circulum infinite paruum. Fit his cafibus corpofis ad C accedcncis celerica&infinite niagna,

■ i3<? CAFUT SECUND. BE 3I0TU FUNCTI

et lianc ob rem nifi curiia in circuliim abiret corpiis celeritate infinite mdgiia ac C 'dccederet, qiiod elTet contra conditionem pioblematis. De- terminatis igitur curuis, fuper qinbiis corpus ae- quabiliter ad centrum viriom accedit , inaeftigabi- inus eas curuas, fuper quibus motu aequabili circa centrum virium circumfertur.

. PROPOSITIO 55. Problema

Tab, vili, 300. Si corpus attrahatm^ perpetuo ad centrum

i^i%* 3» mrium C? determinare curuam AMj Juper qua cor-

pus motu angulari circa centrum C aequahiUter mO'

iietiir.

Solutio.

Sit A curuae puncftum fupremum ., vbi ciirua iiormalis eritin radium AC , fitqueceleritas corporis in A dcbita altitudini^ et ACzz^, erit motus an- gularis in Azn -^, cui quantitati motus angularis in fingulis pund:is M debet effe aequalis. Ponatur CMnix, cui aequalis capiatur CP, et fit vis centri- peta in M~P, erit celeritas in M debita altitudi' ni b —fVdx , integrali/P^/,r ita accepto vt euane- fcat pofito xzna. Ducla tangente MT vocetur perpendiculum ex C in eam demiffum CTzz^p , erit x-.pznMmimn, Hanc ob rem celeritas per^;^

. -^^, et celeritasangulans=£=^i-'^',quae

atqua-

SVFER BATA LimA IN FACVO. is7

aeqnalis effe debet ipd "^. Hinc prodit fequens aequatio hx*z:z.a bp ^—a^^p^/Fdx , feii p — a^f^b^jpd^ • Centro C nidio BC =:= i defcribatur arcus circu- li BSj qui dicatur :=/, erit iidszizx: mn, vnde erit /;/ n in x ds et M ?n ~ V ( dx^ -H x^^ds""). Cum nunc fit .r:/> z=y(^.r^-l-:r Vj^): xii fiet /> ~

VT^^Iw)" QP^ valore in aequatione inuenta fubllituto habebitur bdx^ -^-bx^ds^^ziza^bds^ — a^ ds

fVdx, hincque ds z=z Ti^-tl^^ayYdx)' Ex qua ae- quatione curua quaefita poterit conftrui. Q^E.L

CoroUarium i.

301. Qiio minor fit x , eo maior fiet h-^ fVdx , quare quo minor fit x eo minor quoque fiet -f , feu finus anguli CMT, Eft enim -| ~

xi/h

Corollarium 2.

302. Porro tam ex hypothefi quam hac ae- quatione- x non potefl: fieri maior quam a, fie- ret enim p ^ .r. Quamobrem radiorum CM nul- lus poteft effe normalis in curuamj nifi qui eft niaximus nempe zr AC.

Scholion I.

303. Per fe quidem manifeilum eft in qua- cunque vis centripetae hypothefi circulum cen-

Tom, II, S tro

3S CAPVT SECUKD. DE MQTU PUNCTI

~^

tro C ^efbf iptum fatisfaeere ; corpus enim fu- per circulo vniformiter moueri debebit. Etiam- li autem aequatio generalis circulum non com- prehendere videatur, nihilo tamen minus in ea contentus ejGTe debet- vt iam fupra innuimus»

Scholion 2.

304. Perfpicuum autem eft nullam aliam curuam centrum C cingentem praeter circulum quaefito fatisfacere poffe. Nam in huiusmodi cur- iiis fieri non poteft , vt omnes redae ex C edu- d:ae et in curuam normales fint inter fe aequales. Qiiae igitur curuae praeter circulum problema foluunt, eae per ipfum centrum C transirs dc- hent, vt plus vno radio MC non fit in curuami normali. Cuiusmodi ergo fint hae curuae in fa- quente exemplo videamus.

Exemplum.

3.05. Sit vis centripeta dirtantiis a centro direde proportionalis feu P=/ erit — f?dx zi: ^ ~j". Qiio fubftituto pro curua fequens prodit ae-quatio d s =^^^^^^-^^. Eft vero f^^Tz:^^'^ ar-

eus, cuius fmus eft ~ exiftente toto finu zz: i. Notetur hic arcus per A-^. Sit fmus areus BS ^f, erit szz:A,tj vnde fiet Ao. f zzz V jr^-jbT ^

(A.I—

SVPERDATA LINEA IK VACVO, 159

(A.i— A-^). Seu arcus cuius cofmus eft-feritirA.^ V^-^^tli-^^ Vnde conftrudio curuae flicilis fluit 3 critque curua algebraica quoties V ^j— eft nu- merus rationalis. Sit v —^- zz: m leu ^bjziz ;^|^, erit v(T£ny-==7^fe)> <^^^^s integralis per logaritiimos imaginarios eft ?/// (^y— i -+-y'(i— //)) n:/(^=tv(|!=:f^)) feu ( /y- H-V^ i~-/0) ^' ==^ sc-tv|x^fl')^ Demittatur ex M in AC perpendi- culum MQ,— J' ^t pofito CQ_:zi z/, erit \\t~x',y atque tzzL-^. Propterea prodibit {:- — -^ -■-) _ fc±v(^zi£!). vt fit m—z feu ^/=: |^ habebi- tur ifta aequatio (^^^/ = ^^'-=^-1 Q_nae reduda dat hanc x^z::zau —ay^^zziax'^ -^^Lay^ ^{^m

y — xW— et uzzix V-^ . At fi inter coordi- natas orthogonales u tt y aequatio defjderetnr ea erit ordinis fexti haec {y"^ -^^'^^'^ziza^^iu-y'^^ In hac curua applicata erit maxima fi ^r ir. ^, feu fi fumatur CQ^zz: y^y^ zz^V 2? ? tum enim erit QM— l^y^^y. In aliis vero ipfius m valo- / libus maxima appiicata erit vbi eft myW {d—x'^) ^ ux,

PROPOSITIO 54.

Problema.

306". ^it potentia foJlicitam vniformls g, ^^ Tab, vni, iie deorjum tendat y deturque curiia AT^ inue- ^^^'^'

S 2 nir^

140 CAPUT SECUND. DE MOTU FUNCTI

nire curuam AM, fuper qua corpus ita defcendat , fvt tempiiS per arcuin quemcunque AM proportiona' le fit radlci quadratae ex applicata rejpondente P T curuae datae AT.

Solutio.

Ponatnr abfciffa cominiinis AP — x, curuae AT applicata PT~^, dabitur ergo , quia curua AT diuur aequatio Inter .r et /, quae talis efle debebit , vt euanefcente x fiat quoque 1 1^ o ^ quia motus initium in A ponitur , et tempora a pundlo A computantur. Sit porro curuae quae- fitae AM appiicata P M "j ? et arcus AM = J*. Debita fit ceieritas initialis in A altitudini ^. Erit ergo celeritas in M debita altitudini h-^-gx-^ et

tempus quo arcus AM abfoluitur zz/^^t^j quod aequale eife debet ipfi V/. Habebitur ergo haec aequatio/v[^^'^g^)=zy2^ feu ■j—^^zn -—^^ Vnde dt"^ {^h -\-gx ) zzL ^t ds"" zzz 4./ lix "^ -t-^tdj'' , atque

dyzn.- |-y^ — -^ . lix qua aequattone , cum

t per X detiir , curua quaeilta A M conrtrui po- terit. Ira autem eft cooiiruenda, ^'t pofito x:i:o fiat quoque yzzzo ^ quo curuae AM initium fit iii

A. Q: E. L

Corollariiim r.

307. Quo jgitur curua fit reaiis. dpartet ^ ift bdt'^-\rgxdt'' fic maius quam 4./^;c'ieu t^

SUPFR DATA LINEA IN VACUO, 141

>-^^,— , fiue integrando V t^^^-^fl^'-^. Si cnim fueric y ^ — ^ v:^-+-|^i:ziv& ^ ^^^^,^^ ^^j ^^ reda verticalis, fuper qua defcenfus fit celerrimus.

CoroIIarium 2-

308. Si igitur in curua AT alicubi fiat

dt

aequale ipfi 7^-^), ibi tangens curuae AM re- fpondens erit yerticalis. Atque fi infra hunc lo-

cum fit ^TF <^ "v^hPFxT J curua A M non eousque defcendet, fed habebit punAum reuerfionis iii eo loco vbi tangens eft verticaliSe

CoroIIarium 5.

309. Si angulus quem curua AT in A cum verticaii AP conllituit fuerit acutus , cuius tangens

. , ^^ ^ dt vtdx %^

ZIZJ71, erit m miiio A, t — 772X, et -^ — ^vv^ ^ v^^<r~)J ^i"^^^ m{b-\-gx) maius effe debet quam 4.r, id quod femper accidit fi h non fuerit — 0,

Tum autem ent ay^ 2Vmx — — • roiito igi-

tur x~Oy fiet % —Q<i, feu his cafibuscuruae AM tangens in A erit honzontalisj, nifi fit b — o. At {i b—o, erit ^j— ^^"^^ NeigiturcuruaAM fiat imaginaria, debet ^;/2 maius effe quam 4, at- que tum ciirua AM cum AP in A angulum acutuni

vr^^t — 4") conftuuet , cmus tangen& erit -^--

S 3 Co-

14^ CAPUT SECUND. BE MOTU FUNCTI "^Corollarium 4.

310. Sin vero angiilus , quem curua AT in A cum verticali AP facit , fit redus, fit ;?; — cv. Hoc ergo ca(u curuae AM tangens in A femper erit horizontalis, iiue b (iitz:o fiue recus.

Corollarium $. « .

311. Si celeritas in A eft zz: 0 , et in prin- cipio A curua AT confundatur cum curua , cuius aequatio eft tz^ax^, exiftente n numero affirma- tiuo, quo crefcente x quoque t crefcat, txit dtzz:

dx-V(agn"x^''-' - ^ax'' anx^"^ dx et dy zzi -^ -•

Nunc ne dy iiat imnginarium fado xzno debebit elfe n'^Q.n—1^ feu n <^ i , quibus cafibus fcilicet curua AT in A eft normalis ad AP. Tum vero

erit in puncto A, dy zzz — ^ et y znzizzz:

j

2.V'-^

JL-J- ^j et radius ofculi curuae AM in Az=:

n-\-i

n^agx^

2 («-4-7)' •'^^ ^"^ fequitur curuae AM, cuius tan-

gens in A eft horizontalis, radium ofculi in A de- bere efle infinite paruum, fi corpus ex quiete fu- per ea defcendere pofledebeat.Nifienimradiusofculi fuerit infinite paruus, corpus perpetuo in A quie- lcens permanebit.

Co-

SVPER JJ ATA LINEA IN VACVO. 143 Corollaritim 6-

312. Si igitiir corpus ex quiete defcendere ponatnr in A, quo curua AM fiat realis , debe- bit ^TT-maius efTe quam y^ fattem in initio cur- uae AT. Quare fi ponatur ^^^ zz: :|| +/>^A' , vbi p eft quanritas aflirmatiua iaitem nifi x ponatur nimis magnum , erit V / ~ ~^ -\~fp ^^ 1 'shi fpdx ita accipi debet , vt euanefcat fado xzzio, Hoc autem valore loco ^yf fubilituto prodibit y— z^ f^ -^pdx feu sz£ x-^-fpdxVgXj procurua quae- iita AM. Vei inter x et j haec habebitur aequa- tio y znjdxy (zpVgx-i-gppx). Notandum vero efl p non talem effe poffe quantitatem, ex qua fpdx praefcripta modo acceptum liat infinite iriagnum.

Corollarium 7,

313. Ex didis intelligitur, quamdiu p valo- rem affirmatiuum retineat , tamdiu curuani A M defcendere: fi fit p^o, et deinceps negatiuum, cur- ua AM in illo loco habebit cufpidem, et reuer- tetur fiirfum. Si/)zrcv), manente taiutn fp d x fk- nito, curua AM ibi habebit tangentem liorizonj- talem. ()

Corollarium g.

31^. Si b non ponatur zzo, ex eadem cur- ua AT innumerabites inueniri poterunt curuae AM;, prout enim celeritas initiahs maior minorue acci^ piatur; alia prodit ciirua AM.

i^^CAPVT SECVND, D£ MOTF FVNCTI ' Scholion.

315. Problematis huius maximus erit vfus in folutionibus lequentium problematum indetermi- natorum, in quibus omnes curuae requiruntur , fuper quibus corpus eodem tempore vel ad da- tam redam "vel curuam lineam perueniat. Hanc ob rem indolem quantitatum / et p diiigentius in- ueftigauimus 5 quo iis in fequentibus vti liceat.

PROPOSITIO 55.

Problema.

Tabaia IX, 51 6. Fofita potefitia joUicitante vniformi g et

^^* * deorfim dircBa^ intienire omnes curuas A MC Juper quibus corpus in A ex quicte defcenjum incipiens dU' to tempore ad reifam horizontalcm BC perueniat,

Solutio.

Ponatur APzn.r, PM=:j, et ABi=^. In curiia AND exprimat PN fupra furatam quantit:itemy/)i^.v, cuius curuae liaec debet effe proprietas, vt in Acum axe ABconcurrat; eiusque applicatae continuo vsque ad D faltem crefcant, quo fcilicet pdx fit affir- m a t i u u m . Nu n c fu m t o jf zzifd .r V ( 2 p y gx-\-gppx) erit tempus per AMCrz^'' -f- BD (312.). Qiiamobrem cum innnitae curuae iiuius indolis in .- locum curuae AND fubilitui queant, ex iis infi- nitae orientur curuae AMCj fuper quibus omni-

bus

^

^U-PER DATA LINEA IN FACUO. 145

bus corpus eodem tempore ex A ad lineam ho- rizontalem BC pertingit. Ad hoc ergo obcinen- dum pro jpdx talis qaancitas accipi debet, quae euanefcat pofico :i— ^, et fi:it — BD pofuo .r— (^, retinence p vbique per AND afnrmatiaum yalo- rem. Q; E. I.

Corollariiim i.

317. Si faAo x — a fiat pzi-O, feii fi curua AND in D perpcnaicLilariter infiftat horizonta- li CD , curua A MC quoque ho|:izontali DC per- pendiculariter infjftet.

Corollarium 2^

318. Atque fi pofito xzizo , fiat quoqiie piz: Oy tangeus curuae AMC in A erit verticahs, idem Tero quoque accidit, fi pV x fiat zno pofito xzizo. At fi pV X fiat infinitum pofito xzizo, curua A MC in A habebit tangentem horizontalem,

Scholion i,

Sip.Intenigltur ergo problema hoc maxlme efle indeterminatum , cum infinitis modis infinitae curuae AMC pofiTmt inueniri. Quamobrem in fe- quentibus exemphs modum indicabimus quotcun- que libuerit fisries infinitarum curuarum quaefito fatisfacientium inueniendi,

Tom,iL T Exem-

1^6 CAPUT SECUND. DE MOTU FUNCTI

Exempliini i,

- 320. Ponatiir PNiz:y/?^.viz:.2 ctBDzry^j ita Yt tempus defcenriis efTe debeat iz: '-^ -i- V /?, Sumatur pro curua AND hiec aeqaatio ^jzzct.r^^-f- ^x ) quae hanc iam habet proprietatem 5 \t fpcfx ieu z euanefcat pofito x~o. Nunc qnia facT:o xnza iieri debet zzzzVb, habebitur V^ — a/H-j3;7j hincque (3— ^— cti^, ideoque 5J =: ct a: ^" -4- -^ — ctra% Deinde quia p feu ^-^ afhrmatiuum femper habere debet valorem fi x<^a, debebit elfe ^ax-f-"^ — aa affirmatiuum. Qtiare oportet effe VZ' ^c?^^ j ponatur ideo yZ'~ctrt*-f-ct^//erit ctiiz-^j^jr. Quo fubftituto h ab e bi t u r z zz:^ g£^f/ ^^ 3 q«^e aequatio fubftituendis loco / innumerabilibus valoribus af- firmatiuis, infinitas dat curuas AND. Fiet au-

tem p = t = 2^/^ et p^gxz^ ^^«i e^

qua patet omnes hinc orientes curuas AMC taii- gere redam AB in A. Aequatio vero pro cur-

uis AMC erit haec j^ = /^1—^ y\<ia{a-\-f) ( ix-^-f) Vgbx^gb X ( 2.r-4-/) ^ ), Qii a e i nfi ni t a s^ concinet curuas probiemati fitisfacientes , fuper quibus omnibus tempus defcenfus ad lineam ho- lizontalem eft zz:^'' -^ Vb.

Corollarium 5.

321. Hae autem lineae omnes funt retflificabi.ks.

m cum fit j^^-zz ^ -^pdxy tiit s — x-{-fpdx

^ Vg.x.

SVFER BATA LINEA IN VACVO. 14Y

y£X\ Eft Yevo fpdxV^xzz:-^ —-^ — 2^ ±_*

Viide iou curiia AMC cnt zz: aH-^ TT-— ^

CoroIIarlum 4,

3!^2. later h;is igitur curuas AMC longif- £ma prodit {i fnzo , erit enim tum AMCnz^-f- ^Vgab. Et pro hac erit aequatio idajnry-^ y (^*;iry^(^A" 4-^/5' A^). BreuifTima vero habetur fa- cl:o /=i:co, tum enim erit AMC =:^H-|^ V^ ^^. Et aequatio pro hac curua erit jzzzj^-- V^zaVg

Scholion 2*

525. Omnes curuae AND fub aeqiiatione ^ ^^^"©^^^ contencae funt parabolae , adeo vt per folas parabolas innumerabiles inuentae fint curuae problemati fatisfacientes, Neque vero o- mnes paraboiae in hac aequatione continentur ^ fed loco iilius aequationis^ fi adhibeatur haec ,

z -Hjsyjzz — a~~ y «l^a^ etiam mnnitas para- boias continet, iterum infinitae curuae AMC in- uenientur, fuper quibus corpus dato tempore de- fcenfum abfoluit. Ex quo intelhgi poteft quo- ties iniinitae inueniri queant curuae AMCj fi tan- €um fediones conicae in locum curuaeAND fub-

T a iKituafi»

143 capvtsecfnd.de motv pvncti

(lituantur. Sumta enim pro curua AND hac

aequatione z*-{-aszrj3 ji-^H-y x-f-y x-4-^X2j, quae omnes continet fediones conicas per pundum A transeuntes, fieri debet b-i-cfV bzzL^a^-^- ya -i-

SaVb, atque ^ et ^g^^^ ^ebent effe quantU tates pofitivae , quod quam infinitis modis fieri pofilt , faciie perfpicitur. Si deinde omnes cur«' vae algebraicae confiderentur , atque poftmodum quoque curuae tranfcendentes fimui, maxima CO'» pia curuarum fimul defcriptarum concipi poterit.

Exemplum 2-

324.» Sumatur pro curua AND hacc aeqita-

x^V b tio generalis zzz:. — - — , denotantc n numeruni

^flirmatiuum quemcunque v euanefcet z pofito jtzzk?, fictque zzz^Vbp oCito x—zo vt rcquiritur: praeter-

^ dz^nx^^-^Vb ea vero quoquc erit p feu-j-, — -g quanti'»

J

tas afHrmatiua. Cum igitur iitpVgxzz. -^

crit / -=:zf-^V{2.na''x''-'^Vgb -\r- n"" g b X '^'*^^ ).

Q^Tie aequatio infinitas curuas AMC compIe(fli- tur, quae omnes erunt redificabiles. Erit enim

znx^^^^Vp-b ^^=^-^1^7)^-' ideoque AMC=«-{-

2nV ah

Co-

SFPER DATA LINEA IN FACFO. 14^ CoroUarlum 5-.

325. Si fuerit n nz | erit y :^j ^-lii^^^Lpi^ atqiie j - "-^;^^ et AM - Ar(H-^). Qua- re curua abit in lineam redam inclinatam fuper qua defcenfus fit tempore zz. ^^ -f- V ^. Perfpi- citur ergo dari lineas breuiores reda liac incli- nata , fuper quibus corpus dato tempore cx A ad horizontalem BC peruenit; fado emm n<^^ H- uea A.dC fit breuior.

SchoIIon 5.

326". Ceterum fi detur vnica curiia AND de* fideracam curuam AMC praebens, ex ea ipfa in* numerabiies aliae poterunt inueniri. Data enim vnica aequatione inter z et x capiatur PN zz^r (ma— fm—i )x)z ^ yi[i^Q pro diuerfo ipfius ;;? valore in* numerabiles curuae orientur. Simili modo poni

(ma x^—(m—i )x^^)z etiam potefl PNzz: •- ^n^T ^^

cnim PNnrsiny^ fi ponatumz:^» Atque ge-^ neraliter fifueritPfunclioquaecunque ipfarum xctZj Averoeademfundioquaeproditfad:oArzi:^et2Jzz:y^p accipi poterit PNn:^. Debebit autem F talis cf- fe fun(flio vt Vz euanefcat fadlo x zi: 0 et z~o, et diff. PN diuifum per dx debet effe quantitas afHrmatiuaj faltem quamdiu eft x<^a.

T 5 Scho-

iso CAPUT SECFND. DE MOTU FVNCTI Scholion 4 .

327. Simiii modo problema general|{rim« foluetur , fi defignante P quamcunque fuuiflioncni. ipfius X euanefcentem fi eft xzizOj et A eani quantiratem in quam abit P fi fit xzzia , fumatur s zz: ^ pro generalillima aequatione curuae AND. Sit deinde //PzziQ^/ji', debebit Q_ effequanticas allir-^: « Kiatiua, quamdiu a' no.n fuperat ^*, erit^— ^ at- M que lm\c y zi:j^£- y (2 A(^VglfX-\-gi^Q(lx), quae' " cH: generaliifima aequatio pro curuis AMC, quae omnes a corpore defcendente propofito tempo- re abfoluentur. Apparet hoc modo curuas trans- cendentes quoque in iocum curuarum AND fub- flitui poffe, quibus cafibus tempus, quo quaeuis curuae AM C portio abfoluitur, agebraice noii poteH: definiri. Si Q,"^!;^^ ponatur rz R, eritjz::: /^ /(2ARH-RR). Sumto ergo loco R quacun- que fundione ipfrus x , ad inueniendam A inte- grari debet yp^ ita vt euanefcat pofito x==:<?, de- inde poni oportet xzna , et quod prouenit erit zzzA, Hic v£ro hoc tantum efl: monendum vt pro R fumtitur quantitas afErmatiua , quamdiu x non excedit ^, et caueri debetne/^|£fiat infinitum fi praefcripto modo accipiatur.

PROPOSITIO 5(5.

TtbuU IX» 32S. Vojiia potentia foUidtante njmformi g et

*^*** vMque deorfum dire^a ^ inuenire cmnessuiuas AMQ

fuper

SUPER DATA LINEA m VACVQ. isz

■fuper quibus corpus ex A dato tempore ad re^am BC ad horizontem vtcunque incUnatam dejccndat,

Solutio.

Exprlmat curuae AISID appllcatii BD tcmpu§j quo corpus ex A ad redam BC pertingit , et dn- d:a per quodvis piindum M reda MQ_parailela reclrae datae BC fecante verticalem AB in Q_ ex- primat applicata QN tempus, quo corpus partem .AM percurrit. Qiiare fi infinitae curnae AND concipiantur , quae omnes in B eandem habeant applicatam BD , hae omnes generabunt curuas AMC fupcr quibus corpus dato tempore ab A ad redam BC peruenit. Curuae autem AND Yt fupra monitum concurrere debent in A cum ver- ticali AB, et vsque ad D diuergere debent ab AB. Ponatur nunc tangens anguli ABC — y^, fitque AP=^f, PM— j^, AQzzz/, QNzz^, et APzzr^ erit PQ^zi:^, ideoque A.' -h -^ =: w. Quia autem cele- ritas in M debira eft altitudini gx erit tempus

pcr AM —j^^—^^-^ quod aequale efle debet ipd QNzr/, erit adeo ^/ =r ^"^^ et gxdt^zzz dx^-{-dy^, At ob curuam AND dataiD, dabittfr tmu^ et cum fit u—x-\-^ dabitur ;f per A^ctj' quamobrem habebitur aequatio inter x et j pro curua quaefita AMC. Vel cum iit y zzz ku^kXj erit gxdt*zz{k'''^i) dx^—^k^ du-dx ^k* du^ j ex qua aequatione x per m inuenire licebir. Sit ad hoc dt —pdujQnt gxp^du^ — {k^^i)dx*--~ ik* • dudx

IS2 CAPUT SECUND. DE MOTU PUNCTI

dudx-\-k'du% atque dx = ^^^-^^'^'^l^^.piL-^iM-^ Curua igitur AND taiis accipi debet -vt ^bique ^

U

maius fit quam y^^^rpzpil- Aequatio illa autem ita debet integrari vt fado tizizo fiat a^~<9. Quo fado quoque eruetur aequatio inter x et r pro curuaquae- fita. Q: E. I.

Corollarium i.

3 2p.Curua AMC tanget in A rcdlam AB fi fit dy inOj pofito xz:z.o\ tum vero debebit efTe duzn dx^ atque izii^V {g{k^ -^ i)p'' x—k^). Quare hoc eue- niet fi fit ppxizz^ fido xzzo, Qiiia autem hoc ca* fu eft j infinities minor quam x , erit in ipfo ini- tio X zz: Uy ex quo fequitur curuam AMC in A tan- gere verticalem AB fi fuerit ppuzz.^ pofito uzi::o>

Corollarium 2-

330. Deinde curua AMC normalis erit in QM fi fuerit PQ=z:-f — ff^ feu dx — kdj, zizk^du-

k*dx, fiue dx ziz p~, Hoc Y^ro eueniet \bi erit

Corollarium 5^

331. In ipfo pundo A exprefiio jp/»Af vel fi- nitum valorem eumque maiorem quam ji^^i^ ha- bebit {Ad:o XiizO', velinfinite magnum. In pofie- riore cafu erit dxzzz^ codu, et cum fit dx zz dx

SFPER BATA LINEA IN VACVO. 15$

-f- --^ , erit fJj zzi—kdx. Qi.ubus cafibus tangens^ curuae AMC in A paralleh erit redae BC.

Exemplum.

332. Sit curua AND parabola quaecunquc,

ita vt fit t:zz^:^^- erit 4f=:^j et p zz :;^, tq- de habebitur ifla aequatio j (^k'' -^i) (Ix—k'' duzz:^

^- ^^^^^^-^•;|''''-'""^'"^. Huius aequationis integralis cft Q—(,±y{ci\k'-^i ) .r-i^%0 ^AV/O^^C+V (^^(j^"_l_i) X - Jb^O+By/O?- Exiftente A =1

1^^ atque ^ = ]^. Cum igitur fit tt numerus ne^atiuus , erit Q{A^y {a^{k'^-\-i)x—k''u)'^AVuy-'^ ci:(+y(a\^'-4-i).r-r/0-+-By«) ^, vbi C d^no- tat conftantem, quac efficiat vt poiito xzzo^^t U—O. Manifeftum autem eft quaecunque fuerit conftans , femper fieri uzz.o pofito xzizo, excepto cafu quo ^ vel tt euanefcit. At tt euanefcere non poteft, ^ vero euanefcit cafu quo an: i , hoc igi- tur cafu debet efle Czzcv:, fietque H-y(a'(F-H-i) A'— fc^) H-a V//~(9, feu uzzix et jzz^-, quare fa- tisfacit hoc cafu reda verticalis AB. Reliquis cafibus vero ob C arbitrariam quantitatem ex Tnica curua AND innumerabiles curuae AMC in- vaniuntur. Vnicus porro cafus eft feorftm tra-

dlmdus, fi AinB feu ^'1= -^" _-^a— tum enim erit /?/— C - 2 /(r '-+=!') ±- T^TT- exiftente r mzz:

Tom. IL U ^ Via

15+ CAPUT. SECFHD. DE MOTF PFNCTI

V(a^(fe^-f-i )x— fe^u)

z^ •> Conleqoenter pro hoc caia ha-

bebitur haec aequatio C" 2 /(VCct^lfc -h-i) x— ^^^)

terminatione non opus iiabet. Si ert: a5>i fit B et hinc quoque p numerus negatiuus, tum er- go debet efle C zn cv. Hoc ergo cafu erit vel AViizziVici^k^^-^-i^x-k^u) vel BVuznyiaik^-i-i) x—lcu), Quae duae aequationes funt pro lineis redis certo modo inclinatis et per A transeun- tibus: haeque etiam generalitcr fatisfaciunt* Vc a fuerit ctizi , erit A~i et Bn:^, hincque hae aequationes uzzix {qm jzno et ^zz: ^-\f — — o: -f»

■| feu xzz^j, quae eft linea redla perpcndicula* ris in BC , haec enim a corpore eodem tem* pore percurritur , quo vcrticalis BC.

Corollarium 4.

332. Niii igitur fitctiizi vel ct^i, innu- merabiles lineae ciiruae inueniuntur problemati fa- tisfacieiites", quae ergo omnes minore tempore ab« foiuentor > quam perpendicolaris AB.

5-

33 3« Cum ergo ex vnica curua AND inii- nitae oriri queant curuae AMC? ficile intelligi- tur iafinitics plures curuas huic quaeftioni fatis- facere , quam praecedenti»

Co-

SUrEK DATA LXKEA IN FACUO. 153

Corollarium 6^

334. Si a<^i effici poteil determinandii con* fl-inie C5 vt curaa qiiaefita perdatum piindum redac BC transeat, Deinde aiiis affumendis curuis AND ijmili modo infinitae curuae poterunt inueniri , fuper quibiis corpus non folum dato tempore ad reclam BC perueniat j fed ad quodvis in ea pun^ ^Sum datum C* .

Scholion I.

335. In hcc exemplo cafus quo Am biS occurritjprima enimYice linea red:a verticalis tan- tum fatisfliciens ed inuenta , altera vice praeter hanc redara alia inclinata j vtroque tamen modo eadem aequatione generali fumus vfi. Sacpius au- tem iam huiusmodi cafus obtigerunt , in quibus aequationes difFerentiales continent in fe aequa- tiones integrales , quae nihilominus per integra- tiones non eruuntur. Vt in cafu azizi haec ha-

betur aequatio difFerentialis , ^^-^t&S, = l^ quae integrata dat xzz-U. Interim tamen perfpi- cuum efi: hanc aequationem k^ u — {h^ -{- 1) x in ilia quoque contineri, etiamfi per integrationem non prodeat. Et hanc ob rem pofterior aequa- tio integralis aeque fatisfacit ac prior x~f/. Hinc generaliter coUigere licet acquationem difFerentia-

lem ^ znWduj in qua T etl: tah's fundio ipfius i 5 quae euanefcat pofito izno, et V fundio quae- cunque ipfius u^ aeque corr:prehendere hanc in-

U 2 , tegra-

iS6 CAFUT SECUND. DE MOTU FUKCTI

tegralem t:zzo ac lianc /^ zn /V dii , quac per ititegrationein elicitur. Pierumque quidem ca(us tzzo y fi ^ e(l fimplex quantitas negiigi poteft , at fi t eft quantitas compofita vt in noftro cafu, perperam omittitur. Similem cafum fupra ha-

buimus s. 300. in aequatione d szz:^^a^i,_ix^—a^j Tdx) tbi obferuauimus aequation^m xzza in ea conti- neri, etiamfi integratio nequidem poflit perfici. Nam pofito a—xzz:t erit ^dxzzdt Qty {ab—bx^ ^a^jVdx) crit fundio ipfius f, quae fit zz <? fi fit /zzo feu xzz:a\ namque jVdx ita accipi jube- batur, vt euanefcat pofito xzzia, Pofita ergo hac ipfius / fundione n: T erit ds zz^ , ex qua aequatione ergo tuto concludi licet , fatisfacere aequationem tzzzo feu xzza , ideoque problemati ilii fatisfacere circulum , Yt ibi innuimus. (303») Magis vniuerfaliter vero in hac aequatione Yduzz: ^, fi T non euanefcit pofito tzno j comprehen- detur iila aequatio Tzzo , ex qua erit tzz: con- ftanti quantitati^ideoque <//~^.VndeinteIligiturTzza contineri in aequatione propofita V du zzA^. Atque hinc fi /fuerit quantitas compofita v. g.ex u tt x fla- tim habetur aequatio integralis , per integratio* nem vix eruenda.

Scbolion 2.

336". Cafiis hic fuperefl, qui' peculiarem re- folutionem requirit , quando reda BC fupra pun-

SVPER DATA LINEA IKVACUQ. 157

dlum A cum BA concurrit, ct quando efl paral- lela. Confiderabimus autem fequcnte problemate tantum cafum, quo fit BC paralieia verticali AB ct in data diftantia pofita-, ex quo fimiii modo ca- fum redae BC vtcunque inclinatae deducere li- cebit. ^

PROPOSITIO 57.

^ Problema,

337. SoUicitetnr corpus perpetuo deorfum vi '^^^: '^« miformi g •, inuenire curuas inmmerahiles , fuper qui- bus corpus ex A motiim a qniete incipiendo , dato tempore ad re&am verticaled EC perueniat.

Solutio.

Sit AMC curua quaecunque quaefitarum, et pro axe fumatur recla verticalis AB, dicatur AP ^jc, PM:r:AQp:j j erit celeritas in M debita al-

titudini gx , et tempus per AM ^f^^^^^^i^^- Sit porro AND curua, cuius quaevis applicata Q^N exprimat tempus per AM, et fit QNi—^ fundtio- ni ipfms j^, poterit ex curua* A N D data curua AMC inucniri. Quare fi infinitae curuae AND concipiantur , quae omnes in E communem ha- beant applicatam DE , omnes producent curuas AMC fuper quibus corpus dato tempore per DE expreffb exA ad CE perueniet» Erit itaque t z^ r-^'-^ ^t po&io dt-pdy cmgp\vdj'=:dx*

U 3 +

15 S CAPUT SECUND. BE koTU WnCTI

dj'', atque tixzizdjy (gp^ x — i). Quac ita in- tegrata, Yt polito X-Z^o fkat yzzio, dabk curiias AMC quaefitas. Sit R fundio quaecunque ipfius y tt /Kdj ita capiatur vt euanefcat p oC\to jzzoi Tum fiat/R(^j~A pofito j'— AE iiz^, et exiftevli-

te DEz=yZ' fumatur /=z^^^ , erit p zn ~ at- que d X zn ^ 'V{gb¥\ * x — A^). Qiiae aequatio > quicquid pro R fubllituatur , dabit innumeras cur^ uas quaefito fatisfacientes, Q. E. I.

Corollarium l.

33S. Cafus ergo liabetur fimplicifiimus, fi fuerit Rzz:i , tum enim aequatio feparabilis pro- dit. Er it vero tzz.^^ y ob K':^.^. Hanc ob reifi

^^ V(f&^-^) — ^y •> ^fqiie p y {ghx-a) ~y. Qui autem nuUius eil Ytiiitatis ; ob valorem ipfius / imaginarium.

Corolkrium 2.

339. Quia autem l/ {ghK^ x—K'') non potell ^lTe quantitas imaginaria , oportet lit R *.r ^ ^ ^tiamfi xzzzo. Quare R neque quantitas conftans effe potell: j neque fundio ipfiusj', quae euane- ^^cat fudlo yzizo. Hanc ob rem R taiis t& debet fundio ipfiusjK, quae liat rrcv), fi ponatur y~o, Praeterea tamen eiusmodi elfe debet, vt j Rdy non fiat infinitum quod cueoirct fi eifet Rirjvel Ji etc.

Excm-

SVFEPx DATA LINEA IN VACVO. 155^ Exemplum.

540. Ponamus ergo efTe R — :^, erit/R// ziz iV y et AzraV^. Hinc habebuur ifta aequa- tio 2.dxV ay zz: dy V {gbx—^ay). Qiiae aequatio quia eft homogenea ponatur .vzz^jKy erit i(^dyVa ^zydqVa — dyVgbq-^a) feu ;jr^^^.-^^ -4^. Vo^ito%=n ttV{nq^i)z^rtnt'f ■ziz ^^,nr^~C' Qii^e pofterior formula a quadratura circuli pendebit, fi n<^2, Hoc fero cafu erit in- tegrale lyzzilC -i-^^n&z^ /{zr — n-h V(n'-^)) ^^^^^ /(2r-;z-y(/-4)).Qpaeob 7:-^^)abit in h^nc C{2V{nx-y)-{n-V{n-^)) Vy) ^^^ = ( 2 y (.a-jM;^4-y(;2^-4) ) Vy ) "^^l Vbi pro C conftantem quamcunque accipere licet, quia ipfa aequatio ita eft comparata , vt pofito x zz: 0 fiat yzzio, Per methodum autem fupra traditam (335) ex aequatione difFerentiali ftatim hnbetur haec in- tegraiis 2qV azzzV {gbq — ^a) feu 2 ^y ^zzy(^^^

xj-4.ayy) vnde ontur -^ =1 ^— ^''s^ — ^S q^Tae dat duas lineas redas, nifi fit gb <^S.a. quo cafu aequatio efl: imaginaria. In cafii quo nzz2. erit

^^ = (pizni?^eu /j/— -2/(r— i)-|-^,.vnde fit Ij

=-2/(i/(2x-j)-yj)-f-2/yj+^f^^-i«

/C, feu I(V (2X-y)-yy)-ICzz:^j~z^;z;^^ Vbi etiam pro C quantitatem quamcunque accipere licet. Si ^<^2j tum conftrudio curuae partim a logarith-

mis

t6o CAPUT SECUND, DE MOTU PUNCTI

mis partim a quadr.atura circiiU pendet •, fiiint enim oby(;2*^4) imaginarium logarithmi inuenci imagi- narii. Hoc igitnr cafu expedit condrudionem per- ^cere prae exprefllone analytica.

Tabuia IX. 341. SoJlicltetiir corpus pevpetuo deorfti??i VI um-

^'^ ^ formi g , dataque fit curua quaecunque BSC inueni-

re omnes curuas AMCj fuper quibus corpus defcen-

dendo ex A dato tempore ad curuam BSC perueniat,

Solutio.

Sit curuarum quaefitarum quaecunque AMC? per cuius quodvis pundum M ducatur cur- va MQ^fimilis curuae BSC refpedu pundi fixi A. ct exprimat curuae AN applicata NQ tempus per arcumAM:exponetergoapplicataBDtempusperto- tam curuam AMC. Qiio fado poterit Yiciffim ex data curua AND curua AMC inueniri. Quare fi infinitae curuae AND concipiantur, quae omnes in B habeant applicatam BD communem , eae ge- nerabunt infinitas curuas AMC, fuper quibus omni* . bus corpus ex A defcendendo dato tempore per BD exprefTo ad curuam BSC perueniat. Sit nunc ABir^, BD =:VJ', et arcui QM abfcindatur arcus fimilis BS ex curua data BSC, eritiXQAB ^PM: RS=:=AP:AR=PQ^:BR. Ponatur porro

AP

SVPER DATA LINEA IN VACVO. 160

AV:=:xy?M—j', AQpzu; QN=r/-, ARznr', R^ ZziSj dabitur ob curiiam BSC datam aequatio iti- ter r et s^ atque ob curuam AND datam da- bitur aequatio inter / et u. At ob fimiiitudinem erit »: azz-y, szr.x: r, vnde erit jzz-''-^ et a~=i: ^. Celeritas deinde coiporis in M debita e(l altitudini ^.1" , ex qua tempus pcr AM erit zzr:

i^-^^^^^^ quod aequale poni debet ipfi t\ vndc oritur ifta aequatio ^.r^^*— r/.r*-4-^j/*. Quiaau- tem t per u datur fit dtznpdu, tt p fit fundio

ipfius f/; atque ob ^a~^^^^ et dy rr ^^^^% transibit illa aequatio in \vxnz\ garup^ duzz{udf ^r d iiY -\-{u d s ^ s diif . At quia curuaBSC da* tur , erit s fundio ipfius r fitque dszziqdr, exi- llente ^ fundione ipfus r quacunque. His fubditu* tis habebitur aequatio inter u et r ifta garup^duzz: {u dr -\-r d 11^ '-^-{u q dr ^ s diif . Quae radice qua- dr ata extrada dat ^^r-^<i±^^^^^^zaruri^-^^

Ex qua fi aequatio inter r et « inueniatur, inde habebitur fimul aequatio inter x et y pro curua quaefita. Qiiod autem ad curuam AND attinet, fit P fundio quaecunque ipfius z/, et fVdu ita^ integratum vt euanefcat faclo uz^o^ et fiatzziA pofi- to uzzia^ tum fumatur tzz^^^ , pro aequatione curuae AND. Erit Grgo pzzz^ , vbi pro P fun- ^tionem quamvis ipfius u poncre licet. Q.E. I.

Tom. II> X CO"

X

CzCAPFT SECFND, DE MQTF PFKCTI

CoroUarium r.

342. Si u ponatur — 0 , eo ipfo quoque x €t y euanefcunt, nifi forte fiat r vel s infinitum, Illo igitur cafu in integratione acquationis diffe- rentialis inuentae conilantem quamcunque addere licet, quia non opus eft Yt r datum habeat va- lorem, fi « fit :=: (?»

Corollarium 2.

343. Tiim igitur ob conflantem arbftrarl* am addendam ex ynica curua AND data innu- inerabiles inueniuntur curuae AMC quaefito fatis-* facientes,

Corollarium 5.

344. Si curua BSC ita eft comparata , vi musquam neque r neque s fieri queat infinite ma- gnum , femper vnica curua AND infinitas dabit curuas quaefitas A M C. Quae non foium hanc habebunt proprietatem > Yt corpora fuper iis de- fcendentia fimul ad datam BSC peruenianty fed quoqiie fimel ad quam vis datae fimilem curuanfi

M pertingent.

"34f- Cum igitur in integratione aequatio?^' JQis inuentae conllantem quamcuuque addere ii-

ceat j

SVPER DATA LINEA IN VACVO^ t^$

ceat, ea ita poterit aflumi vt curua AMC ad datum pnnduin C curuae datae BSC dirigatur.Hoc- qua modo infinitae curuae AMC poterunt inue- mii ; quae onuies in dato pundo C conueniant*

Scholion L

34.6". Pofuimus curuas Q_M fimiles curuae BSC vt curua ipla in A ereda £at infinite par- tia et omnia punda curuae BSC in A conue- niant , et .r et j euanefcant pofito uzizo. Po- tuilTemus autem eodem modo curuas Q_M vei ctim BSC congruentes ponere , vel difcrepantes lege quacunquc. Vt fit Q fundlio ipfius u quae- cunque euancfcens po^to uzzo, abeatque ea in Bf fado uzza, curua QNl ita pendcre poterit a cur- Ta BSC vt fit xzzz^ et j — ^ : namque flido uziza^ curua QM transibit in ipfam BSC, et in A' cnr^a in pundum transibit, niii curua BSC in in- finitum progrediatur. At etiam hoc cafu pro Q talis accipi poterit funt^io, vt etiamfi fiat v^zzco^ tamen Qr et Qj fiat :=: ^ fi uzzio, Pofuo autem dQzzYdiip habebitur aequatio generalis fequens qdr(i~y^f)-^YMr-{-s^):=^duVi'-^^^'^ - ( Vx —Yr^f). Qiiae aequatio latiflime patet , et ex ^nica curoa AND infinite infinitas curuas AMC fuggeret , quin etiam infinitas fuppeditabit, quac l^er datum pundum C transeunt. •

154. CAPVT SECUND. DE MOTU FUKCTI Scholion 2.

347» Qiiantumuis generalis autem efl hacc aequatio , tamen curua Q^M e(l fimilis curuae BSC, quia e(l jt': j— r: s. Qiiare adhuc generalior folutio poterit exhiberi, in qua curuae QM vtcun- que diirimiles ponuntur curuaeBSC eiusmodi tamen vt QM in BSC abeant fado u~a. Obtinebitur vero haec folutio , fi R fumatur fundio quaecun- que ipfius u cuanefcens ficlo u—o , abeatque R ia D pofito uzi:aj fitque dRzizWdii, Sumatur enim .r :=: ^ Qt j ziz^ -, abibit .r in r et j in s fi fiat u~aj atque euanefcente u tam x quam y euane- fcent, quicquid fit r. Hinc autem fequens orietur aequatio generaliffima: </r (D'Q*-f-B*R*/^*) H- du (D^QV r + B'R W^ s )'-±du y(£^!^i»*--5!^> — B''D''(RV^r--QW.ff )• In hac aequatione loco dr

ds

introduci poteft ds ponendo ~ loco ^r, vel etiam loco r poterit x introduci ponendo loco r eius valorem "^^, et tum hibebitur aequatio inter u et *r. Notandum autem eft: quia Qeuanefcit fido u zzzOj P talem effe debere fundionem ipfius «, vt P^^Q pofito uznOj vel iiat quantitas finita vel infi- Rite magna, at tamen cauendum eft v.Qf?du debi- to modo fumtum fiat infinite magnum.

Corollarium 5«

34S. Aeq-uatio in folutione inuenta fitfepara*

bilis, fi fuerit P =i vi? eritA— aV^ ct p zizi^*

Habe-

I

SFPER DATA LINEA IN VACUO. 16 $

Habebitur enim — =: -^^ — --^-f^ — < .

dantur cnim s ^t q per r.

Corollarium 6-

349. Simili modo aequatio Scliol. I. fepara- tionem admittet , fi fuerit P^Q^z=:V' feu V~j^

Habebuur enim -~^^^-—^^ =

•—Q^zr ;^, m qua mdetermmatae z^ et r funt a fe inuicem fcparatae,

Exemplum i.

350. Manentc P*Q^=zV* feu /P/7«=: aVQ^ ob Y duz^dQ^j erit fado u:=za'y Azii^yB. Vn-

. /r, da _ dr{i-^qq)

ae iit Q__ _ ^_, ^_^ y^g^.^ j ^^^)_(^_r^/j."a-

bebit ergo/P^« requifitam proprietatem, vt evane- fcat fido ?/ rz: 0 y euanefcit enim Q. Sit nunc curua BSC circulus fuper diametro AB defcrip-

tus, erit jzzy(^r— r*j, et f rr -^^^\ atque ^-^qq^-j^^-pi^^f hi& valoribus loco j et ^ fub^

flitutis prodibit ifta aequatio -q^ ".

a dr {— 2 Var—rrj-^rl/i^br—^r^^^y^^ar—r '}' ^ " '

X 3 . tio

14^ CAPUT SECVND. DE MoTU PUNCTI

tio non folum indeterminatas a fe inuicem habet feparataSj fed etiam generaliter per logarithmos integrari potell: poteil enini ia aequatione -^^

z.2ar-t'^r^±r^ {gb—^r){a-r) membrum irrationaie ra- tionale effici, Prodibit autem integralis haec /Q_^

4a 7 2 V(a — r)^^Kgb — -.4 r) \ y/'gab Ua ( g& — 4-r) -4- "^gb ( a—r-,

^a—gb Vr ^a~ib ia.gb — ^r)^iib[a — r)

-H/C Notari hic convenit cafum quo ^,^—4^ feu VZ^zr^, quo rempus per quam\is curuarn AMC aequale ponitur temipori defcenfus per rc- dam Yerticalem AB ; tum enim erit ^^ ~-zz. zr^T— ~T^2 ( e ,^_f^ • Si igitur fignum -f- yalcat, erit dr zn 0 y er r zn conft. z= c , Tnde fit s zzz l/iac — c^) et x-.yzzV c: V {a—c) feu jV (7z:r..r V {a—c)^ quae aequatio omnes dat chordas in hoc femicirculo ex A dudas , quemadmodum jam de- mondravimus tempora per fmgulas chordas effe inter fe aequalia. Valeat fignum — erit ^::^——:^? atqne hinc (^' — '^^^, fe — — %. Erit ergo q -zzQVV—^j atque- ob szz'V{ar-'r) habebitur x zz: -f^^^ et j/zz:^y|/r.(^_r/; eliminata ergo r pro- dibit ifla aequatio (pofito ^zzm) y''-^- x"" zz maV XJ. Hae ergo curuae hanc habent